쎈 공통수학1 604번 📐 이차함수의 그래프와 직선의 위치 관계
유형문제 난이도 ★★★★☆ 5단원 | 이차함수와 이차방정식
- 🎬 a=1, 2, 3 각각 계산하는 단계별 풀이 영상
- 📸 출판사 공식 해설 이미지
- 🔍 a별로 k의 범위를 계산하는 체계적인 방법
- 📊 정리된 표로 f(1), f(2), f(3) 한눈에 파악
- ⚠️ k의 범위에서 자연수 개수 세기 실수 방지
- ⏱ 내신·수능 목표 풀이 시간
📱 이 문제는 a별로 같은 과정을 3번 반복하는 구조입니다.
한 번 익히면 나머지는 계산만 하면 됩니다. 충전기 연결하고 도전!
전략: D<0 조건 → k의 범위 → 자연수 k 개수 = f(a)
a=1, 2, 3 순서로 반복 계산하면 됩니다!
🔎 문제 핵심 파악
문제 상황 요약
자연수 a에 대해 이차함수 \(y=x^2-4ax+5a^2-1\)와 직선 \(y=-2x+k\)가 만나지 않도록 하는 모든 자연수 k의 개수를 \(f(a)\)라 할 때, \(f(1)+f(2)+f(3)\)을 구합니다.
🔑 단서 찾기
- “만나지 않는다” → D < 0
- D/4 계산 후 k의 범위(k < ?) 결정
- a=1, 2, 3 각각에 대해 자연수 k 개수 계산
🎬 풀이 영상
💡 풀이 힌트 (먼저 도전!)
힌트 1. \(x^2-4ax+5a^2-1=-2x+k\)를 정리 → \(x^2-2(2a-1)x+5a^2-1-k=0\)
힌트 2. D/4 = \((2a-1)^2-(5a^2-1-k) < 0\)를 전개하면?
힌트 3. 정리하면 \(k < a^2+4a-2\). a=1, 2, 3 대입!
🧠 핵심 풀이 | 왜 이렇게 푸는가?
\(x^2-2(2a-1)x+(5a^2-1-k)=0\)에서: $$\frac{D}{4}=(2a-1)^2-(5a^2-1-k)$$ $$=4a^2-4a+1-5a^2+1+k = -a^2-4a+2+k$$ 만나지 않으려면 D/4 < 0: $$-a^2-4a+2+k < 0 \quad \Rightarrow \quad k < a^2+4a-2$$
| a | k의 조건 | 자연수 k | f(a) |
|---|---|---|---|
| 1 | k < 1+4−2 = 3 | k = 1, 2 | 2 |
| 2 | k < 4+8−2 = 10 | k = 1, 2, …, 9 | 9 |
| 3 | k < 9+12−2 = 19 | k = 1, 2, …, 18 | 18 |
$$f(1)+f(2)+f(3) = 2+9+18 = \boxed{29} \quad 🎯$$
⚠️ 자주 틀리는 내용
❌ 실수 1: D/4 전개 시 \((2a-1)^2=4a^2-4a+1\)에서 중간 항 \(-4a\) 누락
❌ 실수 2: k < 3일 때 자연수 k가 1, 2, 3으로 3개라고 착각 → k<3이므로 k=3은 제외! → 1, 2만 → 2개
❌ 실수 3: k < n (n이 자연수)인 자연수 k의 개수 = n-1개임을 반드시 확인
📌 외워두면 득점하는 패턴
자연수 개수 세기 패턴 (자주 출제!)
- k < n (n이 자연수) → 자연수 k = 1, 2, …, n-1 → 개수 = n-1
- k ≤ n (n이 자연수) → 자연수 k = 1, 2, …, n → 개수 = n
- 경계값에서 부등호 방향과 등호 포함 여부를 꼭 확인!
⏱ 시험별 목표 풀이 시간
🏫 내신 시험: 목표 3분 30초
→ D/4 전개 → k 범위 → a=1, 2, 3 대입 → 각 자연수 개수 세기. 표 형태로 정리하면 실수 방지!
📝 수능 시험: 목표 2분 30초
→ D/4 전개를 빠르게 하고, a별 계산을 암산으로 처리
💡 속도 향상: k < n인 자연수 개수 = n-1 패턴을 자동화!
📸 출판사 공식 해설
📚 관련 개념 포스트
✏️ 연산 워크시트 (기초 다지기)
🚀 마플시너지 추가 연습
마플시너지 공수1 | D<0 조건 자연수 k 개수 계산 심화 마플시너지 공수1 | 파라미터 a별 함수값 합산 유형- 연산 워크시트 28번 → D 계산 기초 반복
- 개념 포스트 (이차함수와 직선의 관계) → 위치 관계 완전 이해
- 마플시너지 → 파라미터 포함 복합 심화 유형