쎈 공통수학1 598번 📐 이차함수의 그래프와 직선의 교점
유형문제 난이도 ★★★★☆ 5단원 | 이차함수와 이차방정식
- 🎬 전문 강사의 근의 차 공식 풀이 영상
- 📸 출판사 공식 해설 이미지
- 🔍 |α-β|를 직접 계산하지 않고 (α-β)²으로 우회하는 이유
- 🧠 근과 계수 관계 → (α-β)² 공식 활용 전략
- ⚠️ -4αβ 빠뜨리는 치명적 실수 방지
- ⏱ 수능·내신 목표 풀이 시간 및 속도 향상 전략
💡 이 문제는 근의 차를 구할 때 제곱으로 우회하는 중요한 기법이 등장합니다.
이 패턴을 익히면 비슷한 유형을 모두 풀 수 있어요!
핵심 공식: \((\alpha – \beta)^2 = (\alpha+\beta)^2 – 4\alpha\beta\)
이 공식 하나로 이 문제가 깔끔하게 풀립니다!
🔎 문제 핵심 파악
문제 상황 요약
이차함수 \(y = x^2 – 2\)의 그래프와 직선 \(y = mx\)의 두 교점의 x좌표의 차가 4일 때, 양수 m의 값을 구합니다.
🔑 단서 찾기
- 두 교점의 x좌표의 “차가 4” → \(|\alpha – \beta| = 4\), 즉 \((\alpha-\beta)^2 = 16\)
- \((\alpha-\beta)^2 = (\alpha+\beta)^2 – 4\alpha\beta\)로 변환
- “양수 m” 조건 → 두 값 중 양수 선택
α와 β를 직접 구하지 않아도 됩니다. 근과 계수의 관계로 α+β와 αβ를 알면,
\((\alpha-\beta)^2 = (\alpha+\beta)^2 – 4\alpha\beta\)로 계산 가능!
🎬 풀이 영상
💡 풀이 힌트 (먼저 도전!)
힌트 1. \(x^2 – 2 = mx\)를 정리 → \(x^2 – mx – 2 = 0\)의 두 근 α, β
힌트 2. 근과 계수 관계: \(\alpha + \beta = m,\; \alpha\beta = -2\)
힌트 3. \((\alpha-\beta)^2 = m^2 – 4 \times (-2) = m^2 + 8 = 16\), 따라서 \(m^2 = ?\)
🧠 핵심 풀이 | 왜 이렇게 푸는가?
\(x^2 – 2 = mx\) → \(x^2 – mx – 2 = 0\)
두 근 α, β에 대해: $$\alpha + \beta = m, \quad \alpha\beta = -2$$
\(|\alpha – \beta| = 4\)이므로 \((\alpha – \beta)^2 = 16\) $$(\alpha-\beta)^2 = (\alpha+\beta)^2 – 4\alpha\beta = m^2 – 4(-2) = m^2 + 8$$ $$m^2 + 8 = 16 \quad \Rightarrow \quad m^2 = 8$$
\(m = \pm 2\sqrt{2}\)에서 양수 조건: \(m = \boxed{2\sqrt{2}} \quad 🎯\)
⚠️ 자주 틀리는 내용
❌ 가장 흔한 실수: \((\alpha-\beta)^2\) 공식에서 \(-4\alpha\beta\)를 빠뜨려 \(m^2 = 8\) 대신 \(m^2 = 16-m^2\)으로 잘못 계산
❌ 실수 2: \(m = \pm 2\sqrt{2}\)에서 양수 조건을 확인하지 않고 \(m = -2\sqrt{2}\) 선택
❌ 실수 3: \(\alpha\beta = -2\)를 \(+2\)로 부호 실수 → \(x^2 – mx – 2 = 0\)에서 상수항은 \(-2\)
📌 외워두면 득점하는 패턴
근의 차 관련 핵심 공식 (반드시 암기!)
- \((\alpha – \beta)^2 = (\alpha+\beta)^2 – 4\alpha\beta\)
- \(|\alpha – \beta| = k\) → \((\alpha-\beta)^2 = k^2\)으로 변환
- 이차방정식 \(ax^2 + bx + c = 0\): 두 근의 합 \(=-b/a\), 곱 \(=c/a\)
💡 이 공식을 변형하면: \(\alpha^2 + \beta^2 = (\alpha+\beta)^2 – 2\alpha\beta\)도 파생됩니다!
⏱ 시험별 목표 풀이 시간
🏫 내신 시험: 목표 2분 30초
→ 이차방정식 정리 → 근과 계수 설정 → (α-β)² 계산 → m 결정. 검산 필수
📝 수능 시험: 목표 1분 30초
→ \((\alpha-\beta)^2\) 공식을 즉시 떠올리는 훈련이 핵심
💡 속도 향상: 근과 계수의 관계 + \((\alpha-\beta)^2\) 공식 조합을 반복 연습!
📸 출판사 공식 해설
📚 관련 개념 포스트
✏️ 연산 워크시트 (기초 다지기)
🚀 마플시너지 추가 연습
마플시너지 공수1 | 두 근의 차 (α-β)² 공식 활용 유형 마플시너지 공수1 | 이차함수-직선 교점에서 기울기 m 구하기- 연산 워크시트 29번 → 근과 계수의 관계 기초 훈련
- 개념 포스트 (곱셈공식 변형 활용) → (α-β)² 공식 이해
- 마플시너지 → 근의 차 활용 심화 유형