쎈 공통수학1 · 4단원 이차방정식 · C단계 고난도
531번 · 유리수 계수 이차방정식 — 유리부분·무리부분 분리로 계수 결정 [교육청 기출]
— 대입 후 유리부분=0, 무리부분=0 두 조건으로 연립!
🔥 C단계 고난도📋 교육청 기출
📹 풀이 영상
📋 이 포스팅에서 확인할 수 있어요
- 📹 풀이 영상 (유리수 계수 + 무리수 근 처리)
- 🖼️ 교재 해설 이미지
- 🔑 α=2+√3 대입 → 유리부분=7a+3b+c=0, 무리부분=4a+2b=0
- 📐 b=−2a, c=−a → ax²−2√3ax−a=0 → x²−2√3x−1=0
- 🔑 β=√3−2 → 1/β 유리화 → α+1/β=0
- ⏱️ 내신 / 수능 목표 풀이 시간
📌 문제 핵심 파악
세 유리수 \(a\), \(b\), \(c\)에 대하여 이차방정식 \(ax^2+\sqrt{3}bx+c=0\)의 한 근이 \(\alpha=2+\sqrt{3}\)입니다.
다른 한 근을 \(\beta\)라 할 때, \(\alpha+\dfrac{1}{\beta}\)의 값을 구하는 교육청 기출 문제입니다.
💡 핵심 전략 — 유리수 계수이면 유리부분과 무리부분을 분리!
\(a\), \(b\), \(c\)가 유리수이므로 \(\alpha=2+\sqrt{3}\)을 대입하면
\((\text{유리수 부분}) + (\text{무리수 부분})\cdot\sqrt{3} = 0\)
→ 각 부분이 동시에 0이어야 합니다!
\(a\), \(b\), \(c\)가 유리수이므로 \(\alpha=2+\sqrt{3}\)을 대입하면
\((\text{유리수 부분}) + (\text{무리수 부분})\cdot\sqrt{3} = 0\)
→ 각 부분이 동시에 0이어야 합니다!
✏️ 단계별 풀이
1
α=2+√3 대입 및 전개
\[a(2+\sqrt{3})^2+\sqrt{3}b(2+\sqrt{3})+c=0\] \[a(7+4\sqrt{3})+\sqrt{3}b(2+\sqrt{3})+c=0\] \[(7a+3b+c)+(4a+2b)\sqrt{3}=0\]
\[a(2+\sqrt{3})^2+\sqrt{3}b(2+\sqrt{3})+c=0\] \[a(7+4\sqrt{3})+\sqrt{3}b(2+\sqrt{3})+c=0\] \[(7a+3b+c)+(4a+2b)\sqrt{3}=0\]
2
유리부분=0, 무리부분=0 조건
\[7a+3b+c=0 \quad\cdots①\] \[4a+2b=0 \implies b=-2a \quad\cdots②\] ②를 ①에 대입: \(7a-6a+c=0 \implies c=-a\)
\[7a+3b+c=0 \quad\cdots①\] \[4a+2b=0 \implies b=-2a \quad\cdots②\] ②를 ①에 대입: \(7a-6a+c=0 \implies c=-a\)
3
방정식 간소화
\(a\neq0\)으로 나누면: \(x^2-2\sqrt{3}x-1=0\)
근의 공식: \(x=\sqrt{3}\pm2\)
\(\alpha=2+\sqrt{3}\), \(\beta=\sqrt{3}-2\)
\(a\neq0\)으로 나누면: \(x^2-2\sqrt{3}x-1=0\)
근의 공식: \(x=\sqrt{3}\pm2\)
\(\alpha=2+\sqrt{3}\), \(\beta=\sqrt{3}-2\)
4
1/β 유리화 및 최종 계산
\[\frac{1}{\beta}=\frac{1}{\sqrt{3}-2}=\frac{\sqrt{3}+2}{3-4}=-(\sqrt{3}+2)=-\sqrt{3}-2\] \[\alpha+\frac{1}{\beta}=(2+\sqrt{3})+(-\sqrt{3}-2)=0\]
\[\frac{1}{\beta}=\frac{1}{\sqrt{3}-2}=\frac{\sqrt{3}+2}{3-4}=-(\sqrt{3}+2)=-\sqrt{3}-2\] \[\alpha+\frac{1}{\beta}=(2+\sqrt{3})+(-\sqrt{3}-2)=0\]
정답 : ③ \(\alpha+\dfrac{1}{\beta}=0\)
🧠 외워두면 좋은 패턴
유리수/정수 계수 + 무리수 근 처리 루틴
① 근 \(p+q\sqrt{m}\)을 방정식에 대입
② 전개 후 \((\text{유리부분})+(\text{무리부분})\sqrt{m}=0\) 형태로 정리
③ 각 부분 = 0으로 연립방정식 수립 → 계수 결정
④ 방정식 확정 → 나머지 근 계산
① 근 \(p+q\sqrt{m}\)을 방정식에 대입
② 전개 후 \((\text{유리부분})+(\text{무리부분})\sqrt{m}=0\) 형태로 정리
③ 각 부분 = 0으로 연립방정식 수립 → 계수 결정
④ 방정식 확정 → 나머지 근 계산
⚠️ 이런 실수 조심!
- \(\sqrt{3}b(2+\sqrt{3})=2\sqrt{3}b+3b\) — \(\sqrt{3}\cdot\sqrt{3}=3\) (유리수!) 처리 주의
- 1/β = 1/(√3−2) 유리화 분모: (√3)²−(2)²=3−4=−1 (음수!)
⏱️ 목표 풀이 시간
내신 시험
6분
수능·모의고사
5분
🖼️ 교재 해설 이미지
