쎈 공통수학1 · 4단원 이차방정식
505번 · \(1/\alpha\), \(1/\beta\)를 두 근으로 하는 이차방정식 (일반형)
— 역수 방정식은 계수를 뒤집어라! \(bx^2+ax+1=0\)
난이도 : 상
📹 풀이 영상
📋 이 포스팅에서 확인할 수 있어요
- 📹 풀이 영상 (역수 근 방정식 일반형)
- 🖼️ 교재 해설 이미지
- 🔑 1/α+1/β=(α+β)/(αβ)=−a/b, (1/α)(1/β)=1/b
- 📐 x²+(a/b)x+1/b=0 → 양변에 b: bx²+ax+1=0
- ⚠️ b≠0 조건 확인 (문제에서 b≠0 주어짐)
- ⏱️ 내신 / 수능 목표 풀이 시간
📌 문제 핵심 파악
이차방정식 \(x^2+ax+b=0\)의 두 근을 \(\alpha\), \(\beta\)라 할 때 (단 \(b\neq0\)),
\(\dfrac{1}{\alpha}\), \(\dfrac{1}{\beta}\)를 두 근으로 하는 이차방정식을 구하는 문제입니다.
💡 꿀팁 — 최고차계수와 상수항을 맞바꿔라!
\(x^2+ax+b=0\) → 역수 근 방정식: \(bx^2+ax+1=0\)
(단, \(b\neq0\)이어야 역수가 정의됨)
\(x^2+ax+b=0\) → 역수 근 방정식: \(bx^2+ax+1=0\)
(단, \(b\neq0\)이어야 역수가 정의됨)
✏️ 단계별 풀이
1
근과 계수의 관계
\(\alpha+\beta=-a\), \quad \(\alpha\beta=b\)
\(\alpha+\beta=-a\), \quad \(\alpha\beta=b\)
2
역수 근의 합·곱
합: \(\dfrac{1}{\alpha}+\dfrac{1}{\beta}=\dfrac{\alpha+\beta}{\alpha\beta}=\dfrac{-a}{b}\)
곱: \(\dfrac{1}{\alpha\beta}=\dfrac{1}{b}\)
합: \(\dfrac{1}{\alpha}+\dfrac{1}{\beta}=\dfrac{\alpha+\beta}{\alpha\beta}=\dfrac{-a}{b}\)
곱: \(\dfrac{1}{\alpha\beta}=\dfrac{1}{b}\)
3
이차방정식 작성
\[x^2-\left(\frac{-a}{b}\right)x+\frac{1}{b}=0 \implies x^2+\frac{a}{b}x+\frac{1}{b}=0\] 양변에 \(b\)를 곱하면:
\[bx^2+ax+1=0\]
\[x^2-\left(\frac{-a}{b}\right)x+\frac{1}{b}=0 \implies x^2+\frac{a}{b}x+\frac{1}{b}=0\] 양변에 \(b\)를 곱하면:
\[bx^2+ax+1=0\]
정답 : ④ \(bx^2+ax+1=0\)
🧠 외워두면 좋은 패턴
역수 근 방정식 변환표
최고차계수와 상수항을 맞바꾸면 완성!
| 원래 방정식 | 역수 근 방정식 |
|---|---|
| \(x^2+ax+b=0\) | \(bx^2+ax+1=0\) |
| \(ax^2+bx+c=0\) | \(cx^2+bx+a=0\) |
⚠️ 이런 실수 조심!
- b=0이면 역수가 정의되지 않으므로 b≠0 조건 확인 필수
- x²+(a/b)x+1/b=0을 최종 답으로 쓰는 실수 — b를 곱해 정수 계수로 만들어야 합니다!
⏱️ 목표 풀이 시간
내신 시험
2분
수능·모의고사
1분 30초
🖼️ 교재 해설 이미지
