쎈 공통수학1 · 4단원 이차방정식
479번 · 모든 실수 \(k\)에 대해 완전제곱식 → 항등식으로 \(a^2+b^2+c^2\)
— \(D=0\)이 \(k\)에 관계없이 성립 ↔ \(D\)의 각 계수=0!
난이도 : 상
📹 풀이 영상
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- 📹 풀이 영상 (항등식 + 완전제곱식 고급)
- 🖼️ 교재 해설 이미지
- 🔑 D=(ak+b)²−4(k²+c−1)=(a²−4)k²+2abk+(b²−4c+4)=0
- 📐 k에 무관하게 성립 → a²=4, 2ab=0, b²−4c+4=0
- 🎯 a²=4, b=0, c=1 → a²+b²+c²=5
- ⏱️ 내신 / 수능 목표 풀이 시간
📌 문제 핵심 파악
이차식 \(x^2-(ak+b)x+k^2+c-1\)이 실수 \(k\)의 값에 관계없이 항상 완전제곱식이 될 때,
실수 \(a\), \(b\), \(c\)에 대하여 \(a^2+b^2+c^2\)의 값을 구하는 문제입니다.
🔑 핵심: D=0이 k에 관계없이 항상 성립 → k의 항등식!
D를 k에 대한 이차식으로 정리 → 각 항의 계수가 모두 0
D를 k에 대한 이차식으로 정리 → 각 항의 계수가 모두 0
✏️ 단계별 풀이
1
D 계산 및 k에 대한 정리
\[D = (ak+b)^2-4(k^2+c-1)\] \[= a^2k^2+2abk+b^2-4k^2-4c+4\] \[= (a^2-4)k^2+2abk+(b^2-4c+4)\]
\[D = (ak+b)^2-4(k^2+c-1)\] \[= a^2k^2+2abk+b^2-4k^2-4c+4\] \[= (a^2-4)k^2+2abk+(b^2-4c+4)\]
2
항등식 조건 — 각 계수=0
\[a^2-4=0 \implies a^2=4\] \[2ab=0 \implies b=0 \text{ (∵ }a^2=4\text{이므로 }a\neq0)\] \[b^2-4c+4=0 \implies 0-4c+4=0 \implies c=1\]
\[a^2-4=0 \implies a^2=4\] \[2ab=0 \implies b=0 \text{ (∵ }a^2=4\text{이므로 }a\neq0)\] \[b^2-4c+4=0 \implies 0-4c+4=0 \implies c=1\]
3
최종 계산
\[a^2+b^2+c^2 = 4+0+1 = 5\]
\[a^2+b^2+c^2 = 4+0+1 = 5\]
정답 : ② \(a^2+b^2+c^2=5\)
🧠 외워두면 좋은 패턴
“k에 관계없이 항상 성립” → 항등식 루틴
① D를 k에 대한 다항식으로 정리
② 각 차수의 계수를 0으로 놓음 (k²계수=0, k계수=0, 상수=0)
③ 연립방정식으로 a, b, c 결정
① D를 k에 대한 다항식으로 정리
② 각 차수의 계수를 0으로 놓음 (k²계수=0, k계수=0, 상수=0)
③ 연립방정식으로 a, b, c 결정
⚠️ 이런 실수 조심!
- 2ab=0에서 b=0만 가능한 이유: a≠0 (a²=4>0)
⏱️ 목표 풀이 시간
내신 시험
4분
수능·모의고사
3분
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