쎈 공통수학1 · 4단원 이차방정식
456번 · \(\sqrt{(x-1)^2}\), \(\sqrt{x^2}\) — 절댓값 변환 후 경우 분류
— \(\sqrt{a^2}=|a|\) 변환이 이 문제의 핵심 관문!
난이도 : 상
📋 이 포스팅에서 확인할 수 있어요
- 📹 풀이 영상 (\(\sqrt{a^2}=|a|\) 변환 전략)
- 🖼️ 교재 해설 이미지
- 🔍 세 구간 경우 분류 완전 정복
- ✅ 무연근 검증으로 참근 가려내기
- ⚠️ 변환 실수 방지 체크리스트
- ⏱️ 내신 / 수능 목표 풀이 시간
📹 풀이 영상
📌 문제 핵심 파악
방정식 \(\sqrt{(x-1)^2}+6 = x^2+\sqrt{x^2}+3\)의 근을 구하는 문제입니다.
🗝️ 반드시 알아야 할 핵심 변환
\[\sqrt{a^2} = |a| \quad \text{(a의 부호에 관계없이 항상 성립!)}\] 따라서: \(\sqrt{(x-1)^2} = |x-1|\), \(\sqrt{x^2} = |x|\)
→ 방정식이 \(|x-1|+6 = x^2+|x|+3\), 즉 \(x^2-|x-1|+|x|-3=0\)으로 변환됩니다.
\[\sqrt{a^2} = |a| \quad \text{(a의 부호에 관계없이 항상 성립!)}\] 따라서: \(\sqrt{(x-1)^2} = |x-1|\), \(\sqrt{x^2} = |x|\)
→ 방정식이 \(|x-1|+6 = x^2+|x|+3\), 즉 \(x^2-|x-1|+|x|-3=0\)으로 변환됩니다.
💡 분기점은 두 곳!
\(|x-1|\)의 분기점: \(x=1\)
\(|x|\)의 분기점: \(x=0\)
→ 세 구간 \(x<0\), \(0 \leq x<1\), \(x \geq 1\)로 나눠 풀기
\(|x-1|\)의 분기점: \(x=1\)
\(|x|\)의 분기점: \(x=0\)
→ 세 구간 \(x<0\), \(0 \leq x<1\), \(x \geq 1\)로 나눠 풀기
✏️ 경우 분류 풀이
① \(x < 0\): \(|x-1|=-(x-1)=1-x\), \(|x|=-x\)
\[x^2-(1-x)+(-x)-3=0 \implies x^2-4=0 \implies x=\pm 2\]
검증: \(x=-2 < 0\) ✅ \(x=2 \geq 0\) ❌
② \(0 \leq x < 1\): \(|x-1|=1-x\), \(|x|=x\)
\[x^2-(1-x)+x-3=0 \implies x^2+2x-4=0\]
\[x=\frac{-2\pm\sqrt{4+16}}{2}=-1\pm\sqrt{5}\]
검증: \(-1+\sqrt{5} \approx 1.24 \geq 1\) ❌ \(-1-\sqrt{5} < 0\) ❌
③ \(x \geq 1\): \(|x-1|=x-1\), \(|x|=x\)
\[x^2-(x-1)+x-3=0 \implies x^2-2=0 \implies x=\pm\sqrt{2}\]
검증: \(x=\sqrt{2}\approx 1.41 \geq 1\) ✅ \(x=-\sqrt{2} < 1\) ❌
정답 : ④ \(x = -2\) 또는 \(x = \sqrt{2}\)
🧠 외워두면 좋은 패턴
\(\sqrt{A^2}=|A|\) 변환 — 절대 잊으면 안 되는 공식!
\(\sqrt{x^2}=|x|\) (≠ x), \(\sqrt{(x-1)^2}=|x-1|\) (≠ x-1)
→ 루트 안이 완전제곱식이면 즉시 절댓값으로 변환!
분기점이 여러 개일 때 구간 분류 순서
분기점이 \(x=0\), \(x=1\)이면 → 구간은 3개: \((-\infty,0)\), \([0,1)\), \([1,\infty)\)
\(\sqrt{x^2}=|x|\) (≠ x), \(\sqrt{(x-1)^2}=|x-1|\) (≠ x-1)
→ 루트 안이 완전제곱식이면 즉시 절댓값으로 변환!
분기점이 여러 개일 때 구간 분류 순서
분기점이 \(x=0\), \(x=1\)이면 → 구간은 3개: \((-\infty,0)\), \([0,1)\), \([1,\infty)\)
⚠️ 이런 실수 조심!
- \(\sqrt{(x-1)^2}=x-1\)로 잘못 쓰는 실수 — 반드시 \(|x-1|\)로 변환하세요.
- 구간 ②에서 나온 근들이 모두 범위 밖 — 해 없음도 정상적인 결과!
- 검증 없이 \(x=-2, \sqrt{2}, \pm\sqrt{5}-1\) 등을 모두 정답으로 쓰는 실수 — 각 근이 해당 구간에 속하는지 반드시 확인!
⏱️ 목표 풀이 시간
내신 시험
4분
수능·모의고사
3분
⚡ 변환 → 구간 분류 → 각 풀이 → 검증의 4단계를 막힘 없이 실행하는 훈련이 핵심입니다.
🖼️ 교재 해설 이미지
