쎈 공통수학1 · 4단원 이차방정식
453번 · 절댓값 포함 이차방정식 — 모든 근의 합
— \(3x-2\)의 부호로 경우 분류 후 범위 검증 필수!
난이도 : 중
📋 이 포스팅에서 확인할 수 있어요
- 📹 풀이 영상 (절댓값 경우 분류 전략)
- 🖼️ 교재 해설 이미지
- 🔍 절댓값 문제 기본 전략: 내부 식의 부호 분기점 찾기
- ✅ 각 경우에서 구한 근의 범위 검증 방법
- ⚠️ 검증 생략 시 오답이 되는 이유
- ⏱️ 내신 / 수능 목표 풀이 시간
📹 풀이 영상
📌 문제 핵심 파악
방정식 \(x^2 + |3x-2| = 2\)의 모든 근의 합을 구하는 문제입니다.
💡 단서는 여기에 있어요!
절댓값 내부 \(3x-2\)의 값이 \(0\)이 되는 \(x = \frac{2}{3}\)를 기준으로 경우를 나눕니다.
→ \(x < \frac{2}{3}\)이면 \(3x-2 < 0\) → \(|3x-2| = -(3x-2) = -3x+2\)
→ \(x \geq \frac{2}{3}\)이면 \(3x-2 \geq 0\) → \(|3x-2| = 3x-2\)
각 경우에서 나온 근이 해당 범위 내에 있는지 반드시 검증!
절댓값 내부 \(3x-2\)의 값이 \(0\)이 되는 \(x = \frac{2}{3}\)를 기준으로 경우를 나눕니다.
→ \(x < \frac{2}{3}\)이면 \(3x-2 < 0\) → \(|3x-2| = -(3x-2) = -3x+2\)
→ \(x \geq \frac{2}{3}\)이면 \(3x-2 \geq 0\) → \(|3x-2| = 3x-2\)
각 경우에서 나온 근이 해당 범위 내에 있는지 반드시 검증!
✏️ 경우 분류 풀이
① \(x < \dfrac{2}{3}\)인 경우
\[x^2 + (-3x+2) = 2 \implies x^2 – 3x = 0 \implies x(x-3) = 0\]
\(x = 0\) 또는 \(x = 3\)범위 검증: \(x=0 < \frac{2}{3}\) ✅ \(x=3 \geq \frac{2}{3}\) ❌ (제외)
② \(x \geq \dfrac{2}{3}\)인 경우
\[x^2 + (3x-2) = 2 \implies x^2 + 3x – 4 = 0 \implies (x+4)(x-1) = 0\]
\(x = -4\) 또는 \(x = 1\)범위 검증: \(x=-4 < \frac{2}{3}\) ❌ (제외) \(x=1 \geq \frac{2}{3}\) ✅
유효한 근: \(x=0\), \(x=1\)
정답 : ① 모든 근의 합 \(= 0 + 1 = 1\)
🧠 외워두면 좋은 패턴
절댓값 방정식 3단계 루틴
검증 단계를 빠뜨리면 절대로 맞지 않습니다. 이것은 선택이 아닌 필수!
- 절댓값 내부 식 = 0이 되는 \(x\) 값 찾기 (분기점)
- 분기점 기준으로 두 구간으로 나눠 각각 풀기
- 각 경우에서 나온 근이 해당 구간에 속하는지 검증 → 통과한 것만 정답!
검증 단계를 빠뜨리면 절대로 맞지 않습니다. 이것은 선택이 아닌 필수!
⚠️ 이런 실수 조심!
- 범위 검증을 생략하는 가장 흔한 실수 — 이 문제에서 \(x=3\), \(x=-4\)는 범위를 벗어나므로 제외!
- 분기점을 \(x=\frac{2}{3}\)가 아닌 \(x=2\)로 잘못 잡는 실수 — \(3x-2=0\)에서 \(x=\frac{2}{3}\) 정확히 계산.
- 경우 ①에서 \(|3x-2| = 3x-2\)로 반대로 쓰는 실수 — \(x < \frac{2}{3}\)이면 음수이므로 앞에 \(-\) 붙이기!
⏱️ 목표 풀이 시간
내신 시험
3분
수능·모의고사
2분 30초
⚡ 분기점 계산 → 경우 나누기 → 인수분해 → 검증을 하나의 흐름으로 훈련하면 2분 안에 해결할 수 있습니다.
🖼️ 교재 해설 이미지
