C단계 고난도 🏆 최상
🔥 0398번 — 켤레복소수 점화식 — z₁₀₀의 실수부분
🏆 점화식에서 규칙을 발견! z_{n+1}=z̄ₙ(1+i)를 반복 적용하면 2배씩 커지는 패턴이 보여요. 처음 몇 항을 직접 계산해서 규칙을 찾으세요! 💎
📋 이 포스팅에 포함된 것들
- 문제 분석 & 핵심 단서 찾기
- 단계별 친절한 풀이 설명
- 풀이 영상 (유튜브)
- 해설 이미지
- 외워두면 좋은 꿀팁 패턴
- 흔한 실수 경고
- 내신·수능 목표 풀이 시간
- 관련 개념 & 연산 워크시트 링크
🎬 풀이 영상
C단계 고난도 문제! 영상을 먼저 보고 흐름을 파악한 뒤 아래 풀이를 따라가세요. 🔥
🔍 문제 분석 & 핵심 단서
C단계 · 고난도
[문제 요약]
z₁=1+2i, z_{n+1}=z̄ₙ(1+i)일 때, z₁₀₀의 실수부분을 구하는 문제
z₁=1+2i, z_{n+1}=z̄ₙ(1+i)일 때, z₁₀₀의 실수부분을 구하는 문제
🔑 이 문제의 핵심 단서는 바로 이것!
처음 몇 항을 직접 계산해보세요!
z₁=1+2i → z₂=z̄₁(1+i)=(1−2i)(1+i)=3−i
z₃=z̄₂(1+i)=(3+i)(1+i)=2+4i=2z₁!
→ 2항마다 2배가 되는 규칙!
✏️ 단계별 풀이 설명
1
z₂ 계산
z̄₁ = 1−2i
z₂ = (1−2i)(1+i)
= 1+i−2i−2i²
= 1+i−2i+2 = 3−i
z̄₁ = 1−2i
z₂ = (1−2i)(1+i)
= 1+i−2i−2i²
= 1+i−2i+2 = 3−i
2
z₃ 계산
z̄₂ = 3+i
z₃ = (3+i)(1+i)
= 3+3i+i+i²
= 3+4i−1 = 2+4i = 2·z₁!
z̄₂ = 3+i
z₃ = (3+i)(1+i)
= 3+3i+i+i²
= 3+4i−1 = 2+4i = 2·z₁!
3
규칙 발견
z₃ = 2z₁ → z₄ = 2z₂
z₅ = 4z₁ → z₆ = 4z₂
…
z_{2k−1} = 2^{k−1}·z₁
z_{2k} = 2^{k−1}·z₂
z₃ = 2z₁ → z₄ = 2z₂
z₅ = 4z₁ → z₆ = 4z₂
…
z_{2k−1} = 2^{k−1}·z₁
z_{2k} = 2^{k−1}·z₂
4
z₁₀₀ 계산
100 = 2·50이므로 z₁₀₀ = z_{2·50}
= 2⁴⁹·z₂ = 2⁴⁹·(3−i)
100 = 2·50이므로 z₁₀₀ = z_{2·50}
= 2⁴⁹·z₂ = 2⁴⁹·(3−i)
5
실수부분
z₁₀₀ = 2⁴⁹·3−2⁴⁹·i
실수부분 = 3·2⁴⁹
z₁₀₀ = 2⁴⁹·3−2⁴⁹·i
실수부분 = 3·2⁴⁹
정답: ③
💡 외워두면 좋은 꿀팁 패턴
🌟 이 유형의 황금 패턴
복소수 점화식 문제: 처음 4~6항을 직접 계산해서 패턴을 발견! z_{n+1}=z̄ₙ(1+i) 같은 경우 2항마다 2배가 되는 규칙이 자주 나와요.
⚠️ 이것만 조심하세요!
점화식을 반복 적용할 때 켤레(z̄)를 먼저 취한 뒤 (1+i)를 곱해야 해요! 순서를 바꾸면 완전히 다른 결과가 나와요. 또한 z₃=2z₁이라는 핵심 규칙을 발견하지 못하면 100항까지 계산할 수 없어요.
⏱️ 목표 풀이 시간
C단계는 처음에 시간을 두고 완전히 이해하는 것이 우선! 반복 학습 후 시간 단축을 목표로 하세요.
🏫 내신 시험
6~7분
풀이 전략이 핵심
📝 수능 시험
4~5분
패턴 완전 숙달 후
⚡ 시간 줄이는 법: 처음 4항만 정확히 계산하면 규칙이 보여요! z₃=2z₁을 확인한 순간 나머지는 자동. 점화식 문제는 항상 ‘직접 계산 → 규칙 발견’이 정석이에요.
🖼️ 해설 이미지
✍️ 연산 워크시트 (기초 다지기)
C단계를 풀기 전, 기초를 탄탄히!
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기초부터 탄탄히 쌓아야 C단계가 보입니다! 🚀