B단계 유형 🔥 상
📘 0344번 — 복소수 z 또는 z²이 실수가 되기 위한 조건 — 양의 실수
🔥 z²이 ‘양의’ 실수! 단순히 실수가 아니라 양의 실수라는 조건이 추가됐어요. z가 0이 아닌 실수일 때만 가능해요! 🧐
📋 이 포스팅에 포함된 것들
- 문제 분석 & 핵심 단서 찾기
- 단계별 친절한 풀이 설명
- 풀이 영상 (유튜브)
- 해설 이미지
- 외워두면 좋은 꿀팁 패턴
- 흔한 실수 경고
- 내신·수능 목표 풀이 시간
- 관련 개념 & 연산 워크시트 링크
🎬 풀이 영상
영상으로 흐름을 먼저 파악하고, 아래 풀이와 함께 복습하면 효과 2배! 💪
🔍 문제 분석 & 핵심 단서
[문제 요약]
복소수 z=(a+3i)(1+4i)+a(−5+ai)에 대하여 z²이 양의 실수가 되도록 하는 실수 a의 값을 구하는 문제
복소수 z=(a+3i)(1+4i)+a(−5+ai)에 대하여 z²이 양의 실수가 되도록 하는 실수 a의 값을 구하는 문제
🔑 이 문제의 핵심 단서는 바로 이것!
z²이 양의 실수가 되려면 z는 0이 아닌 실수여야 해요! (순허수의 제곱은 음의 실수이므로 제외)
✏️ 단계별 풀이 설명
1
z를 전개·정리
(a+3i)(1+4i) = a+4ai+3i+12i²
= a+4ai+3i−12 = (a−12)+(4a+3)i
a(−5+ai) = −5a+a²i
z = (a−12−5a)+(4a+3+a²)i
= (−4a−12)+(a²+4a+3)i
(a+3i)(1+4i) = a+4ai+3i+12i²
= a+4ai+3i−12 = (a−12)+(4a+3)i
a(−5+ai) = −5a+a²i
z = (a−12−5a)+(4a+3+a²)i
= (−4a−12)+(a²+4a+3)i
2
z²이 양의 실수일 조건
z²이 양의 실수 ⇔ z는 0이 아닌 실수
조건: 허수부분=0 & 실수부분≠0
z²이 양의 실수 ⇔ z는 0이 아닌 실수
조건: 허수부분=0 & 실수부분≠0
3
허수부분=0
a²+4a+3 = 0
(a+1)(a+3) = 0
a=−1 또는 a=−3
a²+4a+3 = 0
(a+1)(a+3) = 0
a=−1 또는 a=−3
4
실수부분≠0 확인
a=−1: 실수부분=−4(−1)−12=4−12=−8 ≠ 0 ✓
a=−3: 실수부분=−4(−3)−12=12−12=0 ✗ 제외!
a=−1: 실수부분=−4(−1)−12=4−12=−8 ≠ 0 ✓
a=−3: 실수부분=−4(−3)−12=12−12=0 ✗ 제외!
5
최종 답
a = −1
a = −1
정답: −1
💡 외워두면 좋은 꿀팁 패턴
🌟 이 유형의 황금 패턴
z²의 부호에 따른 조건 정리:
• z²이 양의 실수 ⇔ z는 0이 아닌 실수
• z²이 음의 실수 ⇔ z는 순허수
• z²이 실수 ⇔ z가 실수 또는 순허수
⚠️ 이것만 조심하세요!
a=−3에서 실수부분이 0이 되어 z=0이 되므로 반드시 제외해야 해요! ‘0이 아닌 실수’ 조건을 꼭 확인하세요.
⏱️ 목표 풀이 시간
처음엔 시간 제한 없이 완전 이해 우선! 반복으로 시간을 줄여가세요.
🏫 내신 시험
4~5분
정확한 계산이 우선
📝 수능 시험
2~3분
패턴 숙달 후 도전
⚡ 시간 줄이는 법: z를 정리하는 전개 과정이 복잡하니 부호에 특히 주의하세요! 전개를 빠르게 하려면 복소수 곱셈 연습을 충분히 해두는 것이 핵심.
🖼️ 해설 이미지
✍️ 연산 워크시트 (기초 다지기)
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