1830번 · 행렬의 합으로 나타내기 — q−p 구하기
MAPL 시너지 행렬과 그 연산 · 정답 5
📌 문제 요약
이차정사각행렬 A에 대하여 A와 A²이 특정 열벡터에 작용한 결과가 주어졌을 때, A가 또 다른 열벡터에 작용한 결과로부터 q−p의 값을 구하는 문제입니다.
🔑 핵심 단서
주어진 열벡터 결과를 두 기저벡터의 일차결합으로 표현하는 것이 핵심입니다. A(1,2)=(0,2)와 A²(1,2)=(−2,3)이 주어졌으므로, 미지의 열벡터 (p,q)를 (1,2)와 (0,2)의 일차결합 형태로 나타낼 수 있습니다.
💡 왜 이렇게 풀어야 할까?
행렬 A 자체를 구하지 않고도 문제를 풀 수 있는 전략입니다. (p,q)를 a(1,2)+b(0,2) 꼴로 놓으면, A(p,q) = aA(1,2)+bA(0,2)로 변환됩니다. 여기서 A(0,2) = A·A(1,2) 관계를 이용하면 A²(1,2)=(−2,3)이 되므로, 모든 것이 주어진 조건만으로 계산 가능합니다. 두 행렬이 서로 같을 조건으로 a, b에 대한 연립방정식을 세워 풀면 p, q를 구할 수 있습니다.
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⚠️ 자주 하는 실수
- 행렬을 직접 구하려는 시도 — A의 성분을 미지수로 놓고 4개의 방정식을 세우는 것은 조건이 부족하여 풀리지 않습니다. 일차결합 방식으로 접근해야 합니다.
- A(0,2)와 A²(1,2) 관계 놓침 — A(0,2) = A{A(1,2)} = A²(1,2)라는 핵심 관계를 파악하지 못하면 풀 수 없습니다. 합성함수 개념과 유사합니다.
- 연립방정식 부호 오류 — 일차결합 계수를 구할 때 (p,q) = a(1,2)+b(0,2)에서 q = 2a+2b임을 정확히 전개해야 합니다. 계수 2를 빠뜨리는 실수가 빈번합니다.
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