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점화식으로 정의된 행렬과 거듭제곱 주기
TOUGH │ 마플시너지 공통수학1 13단원📋 문제 요약
행렬 P와 A₁=A에 대해 Aₙ₊₁=PAₙ으로 정의된 행렬 수열에서 A₂₀₂₆의 (2, 2) 성분을 구하는 문제입니다.
정답
② −2
🔑 핵심 단서
Aₙ₊₁=PAₙ에서 반복 대입하면 Aₙ=Pⁿ⁻¹A₁입니다. P의 거듭제곱을 계산하면 P²→P³=−E→P⁶=E로 주기 6이 나타납니다. A₂₀₂₆=P²⁰²⁵A₁에서 2025=6×337+3이므로 P²⁰²⁵=P³=−E, 따라서 A₂₀₂₆=−A₁=−A입니다.
🧭 풀이 전략
STEP A 점화식 → Aₙ=Pⁿ⁻¹A₁. P², P³ 차례로 계산 → P³=−E, P⁶=E
STEP B 2025÷6=337…3 → P²⁰²⁵=P³=−E
STEP C A₂₀₂₆=−EA₁=−A=[[−4,−1],[3,−2]]. (2,2) 성분=−2
점화식을 일반항으로 바꾸는 것이 첫 번째 핵심이고, P의 거듭제곱 주기를 찾는 것이 두 번째 핵심입니다. 케일리-해밀턴 정리를 활용하면 P³=−E를 더 빠르게 구할 수 있습니다.
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🎬 해설 영상
⚠️ 자주 하는 실수
🚫 주의할 점
- Aₙ=Pⁿ⁻¹A₁에서 지수가 n이 아니라 n−1임에 주의하세요. A₂₀₂₆=P²⁰²⁵A₁입니다.
- 2025÷6=337…3이므로 P²⁰²⁵=P³입니다. 나머지를 0으로 잘못 계산하면 P⁶=E를 적용하게 되어 오답이 됩니다.
- A₂₀₂₆=−A에서 A의 모든 성분에 −1을 곱해야 합니다. (2,2) 성분이 원래 2이므로 −A의 (2,2) 성분은 −2입니다.