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AⁿBⁿ=A를 만족하는 n의 개수
TOUGH │ 마플시너지 공통수학1 13단원📋 문제 요약
두 행렬 A, B에 대하여 AⁿBⁿ=A를 만족시키는 50 이하의 자연수 n의 개수를 구하는 문제입니다.
정답
8
🔑 핵심 단서
케일리-해밀턴 정리를 이용하면 A³=E, B²=E를 구할 수 있습니다. AⁿBⁿ=A가 성립하려면 Aⁿ⁻¹Bⁿ=E이어야 합니다. n이 2의 배수이면서 3으로 나눈 나머지가 1인 수, 즉 n=6k−2 꼴이어야 합니다. 50 이하에서 4, 10, 16, 22, 28, 34, 40, 46의 8개입니다.
🧭 풀이 전략
STEP A 케일리-해밀턴으로 A³=E, B²=E 확인. AⁿBⁿ=A → Aⁿ⁻¹=E이고 Bⁿ=E여야 함
STEP B Bⁿ=E → n은 2의 배수. Aⁿ⁻¹=E → n−1은 3의 배수. 두 조건을 동시 만족: n=6k−2. 50 이하에서 k=1~8 → 8개
행렬의 거듭제곱이 E가 되는 주기를 각각 구한 뒤, 두 조건을 동시에 만족하는 정수 조건(합동식)으로 변환하는 것이 이 문제의 핵심 전략입니다.
🖼️ 해설 이미지
🎬 해설 영상
⚠️ 자주 하는 실수
🚫 주의할 점
- AⁿBⁿ=A에서 양변에 왼쪽부터 A⁻¹을 곱해야 Aⁿ⁻¹Bⁿ=E가 됩니다. AB≠BA이므로 오른쪽에서 곱하면 안 됩니다.
- n이 2의 배수이면서 n−1이 3의 배수인 조건을 정확히 세워야 합니다. n≡0(mod 2)이고 n≡1(mod 3)을 동시에 만족하는 수입니다.
- 50 이하의 자연수에서 n=4, 10, 16, …, 46을 빠짐없이 세야 합니다. 등차수열의 항의 개수=(46−4)/6+1=8입니다.