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행렬 A(BA)ⁿB의 규칙 찾기
TOUGH │ 마플시너지 공통수학1 13단원📋 문제 요약
두 행렬 A, B에 대하여 행렬 A(BA)ⁿB의 모든 성분의 합이 1025가 되도록 하는 자연수 n의 값을 구하는 문제입니다.
정답
⑤ 9
🔑 핵심 단서
A(BA)ⁿB에서 결합법칙을 이용하면 A(BA)(BA)…(BA)B=(AB)(AB)…(AB)=(AB)ⁿ⁺¹로 변환됩니다. AB를 계산하면 대각행렬 [[1,0],[0,2]]가 되고, (AB)ⁿ⁺¹=[[1,0],[0,2ⁿ⁺¹]]이므로 성분의 합 1+2ⁿ⁺¹=1025에서 2ⁿ⁺¹=1024=2¹⁰, n=9입니다.
🧭 풀이 전략
STEP A 결합법칙으로 A(BA)ⁿB=(AB)ⁿ⁺¹ 변환. AB 계산 → [[1,0],[0,2]]. 대각행렬의 거듭제곱 규칙 확인
STEP B (AB)ⁿ⁺¹=[[1,0],[0,2ⁿ⁺¹]]. 성분의 합=1+2ⁿ⁺¹=1025 → 2ⁿ⁺¹=1024=2¹⁰ → n=9
이 문제의 핵심 테크닉은 A(BA)ⁿB를 (AB)ⁿ⁺¹로 바꾸는 결합법칙의 활용입니다. 대각행렬의 거듭제곱은 각 대각 성분을 개별적으로 거듭제곱하면 되므로 계산이 매우 간단합니다.
🖼️ 해설 이미지
🎬 해설 영상
⚠️ 자주 하는 실수
🚫 주의할 점
- A(BA)ⁿB를 (AB)ⁿ⁺¹로 바꿀 때 지수가 n+1이 되는 것에 주의하세요. BA가 n개이므로 AB로 묶으면 n+1개가 됩니다.
- AB와 BA는 일반적으로 다릅니다. 이 문제에서는 AB를 사용해야 하므로 BA를 잘못 계산하지 않도록 주의하세요.
- 1024=2¹⁰이므로 n+1=10, n=9입니다. n+1=10에서 n=10으로 잘못 답하는 실수가 있습니다.