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세 문자 곱셈공식과 행렬
TOUGH │ 마플시너지 공통수학1 13단원📋 문제 요약
두 행렬 A, B가 서로 같을 조건에서 a+b+c=5, a²+b²+c²=29, a³+b³+c³=83, abc=x를 얻고, 세 문자 곱셈공식의 변형을 이용하여 x의 값을 구하는 문제입니다.
정답
② −24
🔑 핵심 단서
a³+b³+c³−3abc = (a+b+c)(a²+b²+c²−ab−bc−ca) 공식이 핵심입니다. 먼저 (a+b+c)²을 전개하여 ab+bc+ca를 구한 뒤, 위 공식에 대입하면 abc=x를 바로 구할 수 있습니다.
🧭 풀이 전략
STEP A 두 행렬이 서로 같을 조건으로 a+b+c=5, a²+b²+c²=29, a³+b³+c³=83, abc=x 확보
STEP B (a+b+c)²=25에서 ab+bc+ca=−2 도출
STEP C a³+b³+c³−3abc=(a+b+c)(a²+b²+c²−ab−bc−ca)에 대입 → 83−3x=5×31, x=−24
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🎬 해설 영상
⚠️ 자주 하는 실수
🚫 주의할 점
- (a+b+c)²=a²+b²+c²+2(ab+bc+ca)에서 계수 2를 빠뜨리는 실수가 잦습니다.
- a³+b³+c³−3abc 공식에서 −3abc의 부호를 잘못 처리하면 x의 부호가 반대로 나옵니다.
- ab+bc+ca=−2를 구한 뒤 a²+b²+c²−ab−bc−ca=29−(−2)=31인데, 29+2=31이 아니라 29−2=27로 잘못 계산하는 경우가 있습니다.