📌 문제 요약

자연수 n에 대하여 3ⁿ을 10으로 나눈 나머지를 a, 9ⁿ을 10으로 나눈 나머지를 b라 할 때, 점 (a, b)를 좌표평면에 나타낸 후 이들 점 중 세 점을 꼭짓점으로 하는 삼각형의 개수를 구하는 문제입니다. 정답은 48입니다.

🔑 핵심 단서

• 3ⁿ의 일의 자리: 3, 9, 7, 1이 주기 4로 반복 → a ∈ {1, 3, 7, 9}.
• 9ⁿ의 일의 자리: 9, 1이 주기 2로 반복 → b ∈ {1, 9}.
• 가능한 점 (a, b)는 총 8개: b=1일 때 4개, b=9일 때 4개.
• 전체 삼각형: ₈C₃ = 56, 일직선(b=1인 4점, b=9인 4점)에서 ₄C₃ × 2 = 8개 제외.
• 56 − 8 = 48.

💡 왜 이렇게 풀어야 할까?

이 문제는 “거듭제곱의 일의 자리 규칙 파악 → 좌표 점 결정 → 삼각형 개수 세기”라는 세 단계로 구성됩니다. 3ⁿ과 9ⁿ의 일의 자리가 주기적이라는 성질을 이용하면 가능한 점이 8개뿐임을 알 수 있고, 이 점들 중 일직선 위의 세 점(같은 b값)을 제외하면 삼각형의 수가 나옵니다. 거듭제곱의 일의 자리 주기는 경우의 수 문제에서 자주 활용되는 도구입니다.

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