TOUGH
마플시너지 공통수학1 12단원 1690번 – a＜b＜c＜d≤e를 만족하는 다섯 자리 자연수의 개수
📌 문제 요약
1부터 9까지의 자연수 a, b, c, d, e에 대하여 a×10⁴+b×10³+c×10²+d×10+e로 나타낼 수 있는 다섯 자리 자연수 중에서 a＜b＜c＜d≤e를 만족시키는 자연수의 개수를 구하는 문제입니다. 정답은 ② 252입니다.
🔑 핵심 단서
- 부등호에 등호가 포함된 위치를 주목: a＜b＜c＜d＜e(모두 다름)와 a＜b＜c＜d=e(d와 e만 같음) 두 경우로 나눈다.
- a＜b＜c＜d＜e: 1~9에서 5개를 택하면 크기순으로 자동 배정 → ₉C₅ = 126.
- a＜b＜c＜d=e: 1~9에서 4개를 택하면 작은 수부터 a, b, c, d(=e)로 배정 → ₉C₄ = 126.
- 합의 법칙: 126 + 126 = 252.
💡 왜 이렇게 풀어야 할까?
크기 순서가 정해진 수를 배열하는 문제에서 핵심 아이디어는 “수를 선택하면 배치가 자동으로 결정된다”는 것입니다. a＜b＜c＜d＜e이면 서로 다른 5개를 고르는 조합이 곧 답이고, d=e인 경우는 서로 다른 4개를 고르되 가장 큰 수가 d와 e에 중복 배치되는 것입니다. ≤ 기호가 있을 때 등호의 위치에 따라 경우를 나누는 것이 이 유형의 전형적 전략입니다.
🖼️ 해설 이미지
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🎬 해설 영상
⚠️ 자주 하는 실수
- ≤ 기호를 ＜로 잘못 읽고 d=e인 경우를 빠뜨리는 실수 — 등호 포함 여부를 반드시 확인하세요.
- d=e인 경우에서 ₉C₄가 아닌 ₉C₅를 적용하는 실수 — d와 e가 같으므로 실질적으로 4개를 택하는 것입니다.
- “선택하면 순서 자동 결정”을 모르고 순열로 계산한 뒤 나누는 복잡한 풀이를 시도하는 경우가 있습니다.
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