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소인수분해 · 약수의 개수
정답 4
🔑 핵심 단서
소인수분해 300 = 2² × 3 × 5² → 300ⁿ = 2²ⁿ × 3ⁿ × 5²ⁿ
일의 자리 5 약수의 일의 자리가 5 → 그 약수는 5의 배수이면서 짝수가 아닌 수 = 3ⁿ × 5²ⁿ의 약수에서 3ⁿ의 약수를 뺀 것
약수 개수 공식 지수+1의 곱으로 약수 개수를 구한 뒤 조건에 맞는 개수 = 40으로 방정식 세우기
💡 왜 이렇게 풀어야 하는가
일의 자리가 5인 수는 5의 배수이면서 10의 배수가 아닌 수, 즉 5를 인수로 갖되 2를 인수로 갖지 않는 수입니다.
300ⁿ = 2²ⁿ × 3ⁿ × 5²ⁿ의 양의 약수 중 이 조건을 만족하는 것은 3ⁿ × 5²ⁿ의 약수에서 3ⁿ의 약수(5를 포함하지 않는 것)를 빼면 됩니다.
3ⁿ × 5²ⁿ의 약수 개수 = (n+1)(2n+1)
3ⁿ의 약수 개수 = (n+1)
일의 자리 5인 약수 = (n+1)(2n+1) − (n+1) = (n+1) · 2n
이것이 40이므로:
2n(n+1) = 40 → n² + n − 20 = 0
(n−4)(n+5) = 0 → n은 자연수이므로 n = 4
① 300ⁿ 소인수분해
② 일의 자리 5 조건 해석
③ 약수 개수 식 세우기
④ 이차방정식 풀기
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⚠️ 자주 하는 실수
“일의 자리 5” = “5의 배수”로만 이해 — 10, 20 등도 5의 배수지만 일의 자리가 0. 반드시 2를 인수로 갖지 않아야 함
3ⁿ의 약수를 빼지 않음 — 5⁰인 약수(일의 자리 1, 3, 7, 9)도 3ⁿ×5²ⁿ의 약수에 포함되므로 제외 필요
약수 개수 공식에서 지수를 잘못 적음 — 300ⁿ이므로 2의 지수는 2n(n이 아님)
이차방정식에서 n = −5도 답으로 제출 — n은 자연수 조건
2n(n+1) = 40 → n = 4