마플시너지공수1답지 1393번 TOUGH 핵심 포인트

1393번은 9단원 이차부등식 TOUGH 문제(2012년 3월 고2 학평 18번)로, 이차방정식 x²−2mx−3m−8=0의 두 근 중 적어도 하나는 양의 실수가 되도록 하는 정수 m의 최솟값 k에 대해 k²의 값을 구하는 문제입니다.

① 두 실근이 모두 0 이하가 될 조건 구하기 — f(x)=x²−2mx−3m−8이라 하면 두 근 α, β에 대해 D≥0, α+β≤0, αβ≥0이어야 합니다.

② D/4=m²+3m+8≥0 — (m+3/2)²+23/4>0이므로 m에 관계없이 항상 성립.

③ α+β=2m≤0 → m≤0 ……㉠. αβ=−3m−8≥0 → m≤−8/3 ……㉡.

④ ㉠, ㉡에서 두 근이 모두 0 이하일 조건: m≤−8/3.

⑤ “적어도 하나가 양의 실수”는 여사건 — m>−8/3이어야 합니다. 정수 m의 최솟값은 k=−2.

따라서 k²=(−2)² = 4.

정답: ② 4.