마플시너지공수1답지 1387번 TOUGH 핵심 포인트

1387번은 9단원 이차부등식 TOUGH 문제(2016년 6월 고1 학평 21번)로, 모든 실수 x에 대해 부등식 −x²+3x+2≤mx+n≤x²−x+4가 성립할 때 m²+n²의 값을 구하는 문제입니다.

① −x²+3x+2≤mx+n 항상 성립 조건 — x²+(m−3)x+(n−2)≥0이 모든 실수 x에서 성립해야 하므로 판별식 D₁≤0. D₁=(m−3)²−4(n−2)≤0 → 4n≥m²−6m+17 ……㉠.

② mx+n≤x²−x+4 항상 성립 조건 — x²−(m+1)x+(4−n)≥0이 모든 실수 x에서 성립해야 하므로 판별식 D₂≤0. D₂=(m+1)²−4(4−n)≤0 → 4n≤−m²−2m+15 ……㉡.

③ ㉠, ㉡에서 m, n 결정 — m²−6m+17≤4n≤−m²−2m+15에서 m²−6m+17≤−m²−2m+15, 즉 2m²−4m+2≤0 → 2(m−1)²≤0. 따라서 m=1.

④ m=1을 대입하면 4n=12이므로 n=3.

따라서 m²+n²=1+9 = 10.

정답: ② 10.