마플시너지공수1답지 1386번 TOUGH 핵심 포인트

1386번은 9단원 이차부등식 TOUGH 문제(2013년 9월 고1 학평 15번)로, 두 다항식 f(x)=2x²+5x+2, g(x)=(a−1)x+b에 대해 모든 실수 x에서 x−2≤g(x)≤f(x)가 항상 성립하도록 하는 실수 b의 범위 α≤b≤β에서 β−α의 최댓값을 구하는 문제입니다.

① x−2≤g(x) 항상 성립 조건 — 모든 실수 x에 대해 (a−1)x+b≥x−2, 즉 (a−2)x+b+2≥0이 항상 성립하려면 a=2, b≥−2 ……㉠.

② g(x)≤f(x) 항상 성립 조건 — a=2이므로 x+b≤2x²+5x+2, 즉 2x²+4x+2−b≥0이 항상 성립해야 합니다. 판별식 D/4=4−2(2−b)≤0에서 b≤0 ……㉡.

③ b의 범위 — ㉠, ㉡에서 −2≤b≤0이므로 α=−2, β=0.

따라서 β−α=0−(−2) = 2.

정답: ③ 2.