Ⅰ. 다항식 > Ⅰ-2. 나머지정리와 인수분해답지나라개념사전 · 특강
019
조립제법의 확장
ax+b 꼴 일차식으로 나눌 때도 조립제법 활용 — 몫은 1/a배, 나머지는 같다
1. 개념011과 개념018의 비교
개념 011의 개념 Check와 개념 018의 개념 Check (2)를 비교해 봅시다.
📝 비교
(2x³−5x²−1) ÷ (2x−1) → 몫: x²−2x−1, 나머지: −2
(2x³−5x²−1) ÷ (x−½) → 몫: 2x²−4x−2, 나머지: −2
위의 식을 살펴보면 나누는 식이 2x−1에서 x−½로 ½배가 되었을 때, 몫은 x²−2x−1에서 2x²−4x−2로 2배가 되었고, 나머지는 변하지 않았음을 알 수 있습니다.
2. 일반화된 관계
이상의 성질을 일반화하면 다음과 같은 관계를 알 수 있습니다.
다항식 f(x)에 대하여
(f(x)를 일차식 ax+b로 나눈 몫)
= (f(x)를 x+b/a로 나눈 몫의 1/a배)
(f(x)를 일차식 ax+b로 나눈 나머지)
= (f(x)를 x+b/a로 나눈 나머지)
(f(x)를 일차식 ax+b로 나눈 몫)
= (f(x)를 x+b/a로 나눈 몫의 1/a배)
(f(x)를 일차식 ax+b로 나눈 나머지)
= (f(x)를 x+b/a로 나눈 나머지)
그 이유는 다음 등식에서 알 수 있습니다. f(x)를 x+b/a로 나누었을 때의 몫을 Q(x), 나머지를 R이라 하면
f(x) = (x+b/a)·Q(x)+R = (ax+b)·(1/a)Q(x)+R
이므로 f(x)를 일차식 ax+b로 나누었을 때의 몫은 (1/a)Q(x), 나머지는 R이다.
이므로 f(x)를 일차식 ax+b로 나누었을 때의 몫은 (1/a)Q(x), 나머지는 R이다.
따라서 조립제법은 다항식 f(x)를 x−a 꼴의 일차식으로 나눌 때뿐만 아니라, 다항식 f(x)를 ax+b(a≠0) 꼴의 일차식으로 나눌 때에도 유용함을 알 수 있습니다.
핵심 정리
다항식을 일차식으로 나눈 몫과 나머지 → 조립제법 이용
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자주 틀리는 포인트
실수 ① 몫의 1/a배 처리 빼먹기
조립제법으로 x−½로 나눈 몫을 구한 뒤, ax+b로 나눈 몫을 구하려면 반드시 1/a를 곱해야 합니다!
실수 ② 나머지까지 1/a배 하기
나머지는 변하지 않습니다! 몫만 1/a배이고 나머지는 그대로입니다.
실수 ③ ax+b=0의 x값 실수
2x+6으로 나눌 때 조립제법에 넣는 값은 x+3=0에서 x=−3입니다. 2x+6=0에서 x=−3이 아닌 x+b/a=0으로 처리하세요!
확인 문제
조립제법을 이용하여 (x³+3x²+2x−1) ÷ (2x+6)의 몫과 나머지를 구하시오.
2x+6=2(x+3)이고 x³+3x²+2x−1을 x+3으로 나누었을 때의 몫과 나머지를 조립제법을 이용하여 구하면
−3 | 1 3 2 −1
| −3 0 −6
| 1 0 2 −7
몫: x²+2, 나머지: −7
따라서 x³+3x²+2x−1을 2x+6으로 나누었을 때의 몫과 나머지는
몫: ½x²+1, 나머지: −7
−3 | 1 3 2 −1
| −3 0 −6
| 1 0 2 −7
몫: x²+2, 나머지: −7
따라서 x³+3x²+2x−1을 2x+6으로 나누었을 때의 몫과 나머지는
몫: ½x²+1, 나머지: −7
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