Ⅰ. 다항식 > Ⅰ-1. 다항식의 연산답지나라개념사전
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곱셈 공식의 변형
대칭식 · 합과 곱의 값 — 식의 값 구하기의 핵심 도구
1. 곱셈 공식의 변형 6가지
① a²+b² = (a+b)²−2ab, a²+b² = (a−b)²+2ab
② (a−b)² = (a+b)²−4ab
③ a³+b³ = (a+b)³−3ab(a+b), a³−b³ = (a−b)³+3ab(a−b)
④ a²+b²+c² = (a+b+c)²−2(ab+bc+ca)
⑤ a²+b²+c²+ab+bc+ca = ½{(a+b)²+(b+c)²+(c+a)²}
⑥ a³+b³+c³ = (a+b+c)(a²+b²+c²−ab−bc−ca)+3abc
② (a−b)² = (a+b)²−4ab
③ a³+b³ = (a+b)³−3ab(a+b), a³−b³ = (a−b)³+3ab(a−b)
④ a²+b²+c² = (a+b+c)²−2(ab+bc+ca)
⑤ a²+b²+c²+ab+bc+ca = ½{(a+b)²+(b+c)²+(c+a)²}
⑥ a³+b³+c³ = (a+b+c)(a²+b²+c²−ab−bc−ca)+3abc
💡 참고
①~⑥의 각 우변을 전개하거나 정리하여 좌변이 되는지를 각자 확인해 봅시다.
2. 대칭식이란?
f(x, y) = x − y²에서 x, y를 서로 바꾸어 대입하면 f(y, x) = y − x²이므로 일반적으로 f(x, y) ≠ f(y, x)입니다.
그런데 특별히 f(x, y) = f(y, x)가 성립하는 식 f(x, y)를 x, y에 대한 대칭식이라 합니다.
예를 들어 다항식 a²+b²에서 문자 a, b를 서로 바꾸어 대입하면 b²+a²이므로 처음의 식과 같습니다. 이와 같이 대칭식은 문자를 서로 바꾸어 대입해도 변하지 않는 식입니다.
대칭식의 값 구하기 핵심
보통 대칭식은 a²+b² = (a+b)²−2ab 와 같이 두 문자의 합과 곱, 즉 a+b와 ab를 이용하여 나타낼 수 있으므로 합과 곱의 값을 알면 대칭식의 값을 구할 수 있습니다.
💡 참고
f(x, y)는 x, y를 포함하는 식으로 생각하면 됩니다.
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자주 틀리는 포인트
실수 ① a²+b² = (a+b)² 으로 착각
a²+b² ≠ (a+b)²입니다! 반드시 −2ab를 빼줘야 합니다. a²+b² = (a+b)²−2ab
실수 ② a³+b³ 공식에서 부호 실수
a³+b³ = (a+b)³−3ab(a+b)입니다. 부호를 반대로 쓰는 실수에 주의하세요!
실수 ③ 대칭식 판별 실수
a−b는 바꾸면 b−a이므로 대칭식이 아닙니다. 반면 (a−b)²은 바꿔도 (b−a)² = (a−b)²이므로 대칭식입니다!
확인 문제
다음 식의 값을 구하시오.
(1) a+b=6, ab=5일 때, a²+b²
(2) x+y=2, xy=−2일 때, x³+y³
(3) a+b+c=2, ab+bc+ca=−1일 때, a²+b²+c²
(1) a²+b² = (a+b)²−2ab = 6²−2·5 = 26
(2) x³+y³ = (x+y)³−3xy(x+y) = 2³−3·(−2)·2 = 8+12 = 20
(3) a²+b²+c² = (a+b+c)²−2(ab+bc+ca) = 2²−2·(−1) = 4+2 = 6
(2) x³+y³ = (x+y)³−3xy(x+y) = 2³−3·(−2)·2 = 8+12 = 20
(3) a²+b²+c² = (a+b+c)²−2(ab+bc+ca) = 2²−2·(−1) = 4+2 = 6
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