곱셈 공식
완전제곱식 · 합차공식 · 세 문자 공식 — 다항식 곱셈의 기본 10가지
1. 곱셈 공식 10가지
다항식의 곱셈 중에서 기본적인 꼴을 정리한 것이 곱셈 공식입니다. 곱셈 공식을 익혀 두면 복잡한 전개 과정을 거치지 않고도 빠르고 정확하게 다항식의 곱셈을 할 수 있습니다.
② (a+b)(a−b) = a²−b²
③ (x+a)(x+b) = x²+(a+b)x+ab
④ (ax+b)(cx+d) = acx²+(ad+bc)x+bd
⑤ (x+a)(x+b)(x+c) = x³+(a+b+c)x²+(ab+bc+ca)x+abc
⑥ (a+b+c)² = a²+b²+c²+2ab+2bc+2ca
⑦ (a+b)³ = a³+3a²b+3ab²+b³, (a−b)³ = a³−3a²b+3ab²−b³
⑧ (a+b)(a²−ab+b²) = a³+b³, (a−b)(a²+ab+b²) = a³−b³
⑨ (a+b+c)(a²+b²+c²−ab−bc−ca) = a³+b³+c³−3abc
⑩ (a²+ab+b²)(a²−ab+b²) = a⁴+a²b²+b⁴
⑥과 같이 식을 정리할 때에는 ab+bc+ca와 같이 윤환의 꼴로 정리하는 것이 편리할 때가 많습니다.
2. 고등 과정 공식 유도 (⑤~⑩)
위의 ①~④의 공식은 이미 중학교에서 배운 것이므로 분배법칙을 이용하여 각자 확인해 봅시다. 여기서는 복잡한 ⑤~⑩의 공식을 유도해 봅니다.
(x+a)(x+b)(x+c) = {x²+(a+b)x+ab}(x+c) ← 공식 ③ 이용
= x³+(a+b+c)x²+(ab+bc+ca)x+abc
(a+b+c)² = {(a+b)+c}² = (a+b)²+2(a+b)c+c² ← 공식 ①
= a²+2ab+b²+2ac+2bc+c² = a²+b²+c²+2ab+2bc+2ca
(a+b)³ = (a+b)²(a+b) = (a²+2ab+b²)(a+b)
= a³+3a²b+3ab²+b³
(a−b)³은 b 대신 −b를 대입하면 됩니다.
3. 곱셈 공식 쉽게 기억하는 법
① (a+b)² = a²+2ab+b²만 확실히 기억하면 (a−b)²은 b 대신 −b를 대입하면 자연스럽게 나옵니다. ⑦, ⑧도 마찬가지입니다.
② (합)(차) = (제곱 차)로 소리내어 기억하면 편합니다.
③ x에 대한 내림차순으로 정리된 식은 사진을 찍듯이 눈으로 기억하세요.
· 1 · x² + (a+b)x + ab → 최고차항 계수 1, 두 문자의 합, 두 문자의 곱
④ 외우지 말고, 차라리 “일일이 전개한다”고 마음먹는 것이 편합니다.
자주 틀리는 포인트
(a+b)² = a²+b²이 아닙니다! 반드시 중간항 +2ab가 있어야 합니다.
(a−b)² = a²−2ab+b²입니다. 마지막 항 b²은 (−b)² = b²이므로 항상 양수입니다!
(a+b+c)²에서 a²+b²+c²만 쓰고 2ab+2bc+2ca를 빼먹는 실수가 매우 많습니다!
확인 문제
곱셈 공식을 이용하여 다음 식을 전개하시오.
(2) (2x−3y)² = 4x²−12xy+9y²
(3) (3x+y)(3x−y) = 9x²−y²
(4) (x+7y)(x−5y) = x²+2xy−35y²
(5) (2x+5)(4x−1) = 8x²+18x−5
(6) (a+b−2c)² = a²+b²+4c²+2ab−4bc−4ca
(7) (x+1)³ = x³+3x²+3x+1
(8) (x−2)³ = x³−6x²+12x−8