마플시너지공수1답지 1350번 TOUGH 연립이차부등식 핵심 포인트

1350번은 9단원 이차부등식 TOUGH 문제(최다빈출 왕중요)로, 실수 a, b, c (a < b < c)에 대하여 연립부등식 {x²−(a+b)x+ab > 0, x²−(b+c)x+bc > 0}의 해가 x < −3 또는 x > 2일 때, 이차부등식 x²−ax+c < 0의 해를 구하는 문제입니다.

① STEP A. 연립부등식의 해를 이용하여 a, b, c의 값 구하기 — x²−(a+b)x+ab > 0에서 (x−a)(x−b) > 0이므로 x < a 또는 x > b (∵ a < b) ⋯ ⓐ. x²−(b+c)x+bc > 0에서 (x−b)(x−c) > 0이므로 x < b 또는 x > c (∵ b < c) ⋯ ⓑ.

② ⓐ, ⓑ의 공통범위 — 공통범위는 x < a 또는 x > c입니다. 이것이 x < −3 또는 x > 2와 같으므로 a = −3, c = 2입니다.

③ 그런데 a < b < c에서 a = −3, c = 2이면 −3 < b < 2이고, b는 임의이므로(연립부등식의 해에 영향 없음) b = −1(답지 확인).

④ STEP B. x²−ax+c < 0의 해 구하기 — a = −3, c = 2를 대입하면 x²+3x+2 < 0에서 (x+1)(x+2) < 0. 따라서 −2 < x < −1 → ③번.