마플시너지공수1답지 1328번 TOUGH 항상 성립 이차부등식 핵심 포인트

1328번은 9단원 이차부등식 TOUGH 문제(최다빈출 왕중요)로, x²−8x+12 ≤ 0을 만족시키는 모든 실수 x에 대하여 x²−2ax+a²−a > 0이 항상 성립할 때 실수 a의 값의 범위를 구하는 문제입니다.

① STEP A. x의 범위 구하기 — x²−8x+12 ≤ 0에서 (x−2)(x−6) ≤ 0이므로 2 ≤ x ≤ 6입니다.

② STEP B. f(x) = x²−2ax+a²−a = (x−a)²−a라 하고 그래프를 이용 — 이차함수 y = f(x)의 그래프는 아래로 볼록이고 꼭짓점의 좌표는 (a, −a)입니다. 2 ≤ x ≤ 6에서 f(x) > 0이 항상 성립하려면 이 구간 내 최솟값이 0보다 커야 합니다.

③ (ⅰ) a < 2일 때 — 최솟값은 f(2) = 4−4a+a²−a = a²−5a+4 = (a−1)(a−4) > 0에서 a < 1 또는 a > 4. a < 2이므로 a < 1.

④ (ⅱ) 2 ≤ a ≤ 6일 때 — 최솟값은 f(a) = −a > 0에서 a < 0. 2 ≤ a ≤ 6을 만족하는 a는 없습니다.

⑤ (ⅲ) a > 6일 때 — 최솟값은 f(6) = 36−12a+a²−a = a²−13a+36 = (a−4)(a−9) > 0에서 a < 4 또는 a > 9. a > 6이므로 a > 9.

(ⅰ)~(ⅲ)에서 a의 값의 범위: a < 1 또는 a > 9 → ⑤번.