마플시너지공수1답지 1300번 TOUGH 아래로 볼록 접선 조건 핵심 포인트

1300번은 9단원 이차부등식 TOUGH 문제로, 이차부등식 (5−a)x²+(a−5)x+1 > 0을 만족시키지 않는 x의 값이 오직 b뿐일 때 a+b의 값을 구하는 문제입니다. (단, a는 실수이다.)

STEP A. (5−a)x²+(a−5)x+1 ≤ 0이 오직 한 개의 근을 가질 조건을 이용하여 a의 값의 범위 구하기

이차부등식 (5−a)x²+(a−5)x+1 > 0을 만족시키지 않는 x의 값이 오직 한 개이려면 이차부등식 (5−a)x²+(a−5)x+1 ≤ 0의 해가 오직 하나 존재해야 합니다.

이차함수의 그래프가 아래로 볼록(x축에 한 점에서 접)이어야 하므로 5−a > 0, 즉 a < 5 ···㉮

또한 이차방정식 (5−a)x²+(a−5)x+1 = 0의 판별식을 D라 하면 D = 0이어야 합니다. D = (a−5)²−4(5−a) = (a−5)²+4(a−5) = (a−5)(a−5+4) = (a−5)(a−1) = 0

에서 a = 5 또는 a = 1. ㉮에서 a < 5이므로 a = 1 ···㉯

STEP B. a+b의 값 구하기

이차부등식 (5−a)x²+(a−5)x+1에 a = 1을 대입하면 4x²−4x+1 > 0, (2x−1)² > 0.

이 부등식을 만족시키지 않는 x의 값은 오직 x = 1/2뿐이므로 b = 1/2. 따라서 a+b = 1+1/2 = 3/2.

정답: ③ 3/2