마플시너지공수1답지 1287번 TOUGH 순허수 조건 핵심 포인트

1287번은 9단원 이차부등식 TOUGH 문제로, 모든 실수 x에 대하여 √(kx²−kx−2)가 순허수가 되도록 하는 정수 k의 개수를 구하는 문제입니다.

STEP A. √(kx²−kx−2)가 순허수가 되기 위한 조건 구하기

√(kx²−kx−2)가 순허수가 되려면 안의 값이 항상 음수이어야 합니다. 즉 부등식 kx²−kx−2 < 0이 모든 실수 x에 대하여 성립해야 합니다.

STEP B. k의 값의 범위를 나누어 정수 k의 개수 구하기

(ⅰ) k = 0일 때 — “이차부등식”이라는 표현이 없으므로 이차항 계수 k가 0일 수도 있습니다. 0×x²−0×x−2 = −2 < 0에서 모든 실수 x에 대하여 주어진 부등식이 성립합니다. ∴ k = 0 가능.

(ⅱ) k ≠ 0일 때 — 부등식 kx²−kx−2 < 0이 모든 실수 x에 대하여 성립하려면 이차함수 y = kx²−kx−2의 그래프가 위로 볼록해야 하므로 k < 0 ···㉮

또한 이차방정식 kx²−kx−2 = 0의 판별식을 D라 하면 D < 0이어야 합니다. D = (−k)²−4×k×(−2) = k²+8k < 0, k(k+8) < 0이므로 −8 < k < 0 ···㉯

㉮, ㉯의 공통범위는 −8 < k < 0.

(ⅰ), (ⅱ)에서 −8 < k ≤ 0. 따라서 정수 k는 −7, −6, −5, −4, −3, −2, −1, 0으로 개수는 8.

정답: ⑤ 8