마플시너지공수1답지 1276번 TOUGH 이중 판별식 핵심 포인트

1276번은 9단원 이차부등식 TOUGH·최다빈출 왕중요 문제로, x에 대한 이차방정식 x²+(m−2)x−am = 0이 실수 m의 값에 관계없이 항상 실근을 가질 때 실수 a의 값의 범위를 구하는 문제입니다.

STEP A. 이차방정식이 실근을 가질 조건 구하기

이차방정식 x²+(m−2)x−am = 0이 실근을 가져야 하므로 판별식을 D₁이라 하면 D₁ ≥ 0이어야 합니다. D₁ = (m−2)²+4am = m²−4m+4+4am = m²−4(1−a)m+4 ≥ 0

STEP B. m에 대한 이차부등식이 항상 성립하기 위한 조건 구하기

이때 이차함수 f(m) = m²−4(1−a)m+4의 그래프는 아래로 볼록하므로 모든 실수 m에 대하여 f(m) ≥ 0이 되려면 이차함수의 그래프가 m축보다 위에 있거나 접해야 합니다.

STEP C. 판별식을 이용하여 a의 범위 구하기

즉 이차방정식 m²−4(1−a)m+4 = 0의 판별식을 D₂라 하면 D₂ ≤ 0이어야 합니다. D₂/4 = 4(1−a)²−4 ≤ 0, (1−a)²−1 ≤ 0, a²−2a ≤ 0, a(a−2) ≤ 0. 따라서 0 ≤ a ≤ 2.

정답: ② 0 ≤ a ≤ 2