마플시너지공수1답지 1250번 TOUGH 이차다항식 조건 결정 핵심 포인트

1250번은 9단원 이차부등식 TOUGH 문제(2022년 6월 고1 학평 15번)로, 이차다항식 P(x)가 (가) P(x) ≥ −2x−3의 해가 0 ≤ x ≤ 1, (나) P(x) = −3x−2는 중근을 가질 때 P(−1)을 구하는 문제입니다.

STEP A. 조건 (가)를 이용하여 P(x)의 식 작성하기

조건 (가)의 P(x) ≥ −2x−3에서 P(x)+2x+3 ≥ 0을 만족하는 해가 0 ≤ x ≤ 1입니다. 해가 0 ≤ x ≤ 1이고 x²의 계수가 1인 이차부등식은 x(x−1) ≤ 0. 그런데 조건 (가)의 이차부등식은 P(x)+2x+3 ≥ 0이고 부등호 방향이 다르므로 P(x)+2x+3 = ax(x−1) (a < 0).

따라서 P(x) = ax²−(a+2)x−3 (a < 0).

STEP B. 조건 (나)를 이용하여 a의 값 구하기

조건 (나)의 P(x) = −3x−2에서 ax²−(a+2)x−3 = −3x−2, ax²−(a−1)x−1 = 0. 이 이차방정식이 중근을 가지므로 판별식 D = 0. D = (a−1)²−4a×(−1) = a²−2a+1+4a = a²+2a+1 = (a+1)² = 0. 따라서 a = −1.

STEP C. P(−1)의 값 구하기

P(x) = −x²−(−1+2)x−3 = −x²−x−3. P(−1) = −(−1)²−(−1)−3 = −1+1−3 = −3.

정답: ① −3