마플시너지공수1답지 1220번 TOUGH 이차함수 꼭짓점 교환 핵심 포인트

1220번은 9단원 이차부등식 TOUGH 문제로, 두 이차함수 f(x) = x²−2(a−2)x, g(x) = −x²−2(a+2)x+6a의 그래프의 꼭짓점을 각각 A, B라 할 때, 두 그래프가 A, B를 지나고, f(x)−g(x) ≤ 0을 만족시키는 정수 x의 개수를 구하는 문제(꼭짓점 A의 x좌표는 양수)입니다.

STEP A. 두 함수의 교점의 x좌표를 이용하여 a의 값 구하기

f(x) = x²−2(a−2)x = {x−(a−2)}²−(a−2)²+… 이므로 꼭짓점 A의 x좌표는 a−2. g(x) = −x²−2(a+2)x+6a = −{x+(a+2)}²+a²+10a+4이므로 꼭짓점 B의 x좌표는 −a−2. 두 이차함수의 교점이 A, B이므로 f(x) = g(x)의 해가 x = a−2 또는 x = −a−2입니다.

f(x)−g(x) = 2x²+8x−6a = 0의 두 근이 a−2, −a−2이므로 근과 계수의 관계에서 두 근의 곱 = (a−2)(−a−2) = −6a/2 = −3a. 즉 −a²+4 = −3a, a²−3a−4 = (a+1)(a−4) = 0. a = −1 또는 a = 4. 꼭짓점 A의 x좌표 a−2가 양수이므로 a = 4.

STEP B. 부등식 f(x)−g(x) ≤ 0을 만족시키는 x의 값의 범위 구하기

a = 4이므로 꼭짓점 A의 x좌표는 2, 꼭짓점 B의 x좌표는 −6. f(x)−g(x) ≤ 0은 f(x) ≤ g(x), 즉 y = g(x)의 그래프가 y = f(x)의 그래프와 만나거나 위에 있는 부분입니다. 교점이 x = −6, x = 2이고 f(x)−g(x) = 2x²+8x−24 = 2(x+6)(x−2)이므로 −6 ≤ x ≤ 2.

따라서 정수 x는 −6, −5, −4, −3, −2, −1, 0, 1, 2로 개수는 9.

정답: 9