마플시너지공수1답지 1196번 TOUGH 절댓값+이차부등식 핵심 포인트

1196번은 8단원 부등식 TOUGH + 최다빈출 왕중요 문제로, |2x−5| + 2√(x²−2x+1) ≤ 9의 해와 이차부등식 2x² + ax + b ≤ 0의 해가 일치할 때 a+b를 구하는 문제입니다.

STEP A. 범위를 나누는 기준이 되는 x의 값 구하기

√(x²−2x+1) = √(x−1)² = |x−1|이므로 주어진 부등식은 |2x−5| + 2|x−1| ≤ 9. 절댓값 기호 안의 식 2x−5 = 0, x−1 = 0이 되는 x의 값은 x = 5/2, x = 1. 이를 기준으로 (ⅰ) x < 1, (ⅱ) 1 ≤ x < 5/2, (ⅲ) x ≥ 5/2로 나눕니다.

STEP B. x의 값의 범위에 따른 부등식의 해 구하기

(ⅰ) x < 1일 때: |2x−5| = −(2x−5), |x−1| = −(x−1)이므로 −2x+5−2(x−1) ≤ 9, −4x ≤ 2, x ≥ −1/2. x < 1이므로 −1/2 ≤ x < 1.

(ⅱ) 1 ≤ x < 5/2일 때: |2x−5| = −(2x−5), |x−1| = x−1이므로 −2x+5+2(x−1) ≤ 9, 3 ≤ 9. 항상 성립하므로 1 ≤ x < 5/2.

(ⅲ) x ≥ 5/2일 때: |2x−5| = 2x−5, |x−1| = x−1이므로 2x−5+2(x−1) ≤ 9, 4x ≤ 16, x ≤ 4. x ≥ 5/2이므로 5/2 ≤ x ≤ 4.

(ⅰ)~(ⅲ)에 의해 부등식을 만족하는 x의 값의 범위는 −1/2 ≤ x ≤ 4.

STEP C. 부등식 2x² + ax + b ≤ 0의 해와 일치하는 a, b의 값 구하기

해가 −1/2 ≤ x ≤ 4이고 이차항의 계수가 2인 이차부등식은 2(x+1/2)(x−4) ≤ 0, 즉 (2x+1)(x−4) ≤ 0, 2x²−7x−4 ≤ 0. 2x²+ax+b ≤ 0과 일치하므로 a = −7, b = −4.

따라서 a+b = −7+(−4) = −11. 정답: ⑤ −11