마플시너지공수1답지 1128번 일등급 허근 대입·재귀 계산 핵심 포인트

1128번은 7단원 고차방정식 일등급문제(2021년 6월 고1 학평 30번)로, Pₙ(x)가 x²+x+1로 나누어떨어지는 조건을 x³=1의 허근 ω를 대입하여 Qₙ(ω)=64를 만족시키는 5 이상의 자연수 n을 구하는 문제입니다.

① x²+x+1=0의 허근 ω 설정 — Pₙ(x)=(x²+x+1)Aₙ(x)이므로 ω는 Pₙ(x)=0의 근. ω²+ω+1=0, ω³=1. Pₙ(ω)=0이면 Qₙ(ω)=(1+ω)(1+ω²)⋯(1+ωⁿ)=64.

② Qₙ(ω) 재귀적 계산 — ω+1=−ω², ω²+1=−ω, ω³+1=2를 이용합니다.

Q₅(ω)=(1+ω)(1+ω²)(1+ω³)(1+ω⁴)(1+ω⁵)=(−ω²)(−ω)·2·(−ω²)(−ω)=2ω⁶=2.

Q₆(ω)=Q₅(ω)×(1+ω⁶)=2×2=4=2². Q₇(ω)=4×(−ω²)=−4ω². Q₈(ω)=−4ω²×(−ω)=4ω³=4. Q₉(ω)=4×2=8=2³.

주기 3으로 패턴: Q₃ₖ(ω)=2ᵏ가 실수. Q₆(ω)=2², Q₉(ω)=2³, …, Q₁₈(ω)=2⁶=64.

③ Q₁₉, Q₂₀ 확인 — Q₁₉(ω)=−64ω²(실수 아님). Q₂₀(ω)=64(실수).

따라서 Qₙ(ω)=64를 만족하는 모든 5 이상 자연수 n은 n=18 또는 n=20. 합은 18+20=38.

정답: 38.