마플시너지공수1답지 1121번 일등급 허근 ω·주기성 활용 핵심 포인트

1121번은 7단원 고차방정식 일등급문제(최다빈출)로, x³=1의 허근과 x³+1=0의 허근에 대한 두 조건에서 각각 a, b를 구한 뒤 ab를 구하는 문제입니다.

조건 (가) a 구하기

x³=1의 허근 ω이므로 ω³=1, ω²+ω+1=0. ω+1=−ω², ω²+1=−ω, ω³+1=2에서 1/(ω+1)+1/(ω²+1)+1/(ω³+1) = 1/(−ω²)+1/(−ω)+1/2 = −(ω+ω²)/ω³+1/2 = −(−1)/1+1/2 = 3/2.

ω³=1이므로 주기 3. 항이 3개씩 세트가 되어 같은 값 3/2가 나옵니다. 30항=10세트이므로 a=10×(3/2)=15.

조건 (나) b 구하기

x³+1=0에서 (x+1)(x²−x+1)=0, ω³=−1, ω²−ω+1=0. 1+ω+ω²+⋯+ω⁸을 ω³=−1의 주기로 묶으면 (1+ω+ω²)−(1+ω+ω²)+(1+ω+ω²)=1+ω+ω². ω²−ω+1=0에서 ω²+1=ω이므로 1+ω+ω²=1+ω+(ω−1)=2ω. 마찬가지로 1+ω̄+ω̄²+⋯+ω̄⁸=2ω̄.

ω와 ω̄은 x²−x+1=0의 두 근이므로 ω+ω̄=1, ωω̄=1. 따라서 b=2ω×2ω̄=4ωω̄=4.

따라서 ab=15×4=60.

정답: 60.