마플시너지공수1답지 0995번 TOUGH 상반방정식 x+1/x 치환 핵심 포인트

0995번은 7단원 고차방정식 TOUGH 문제로, x⁴−5x³−4x²−5x+1=0의 두 실근 α, β에 대해 (α−β)²을 구하는 문제입니다. 양변을 x²으로 나눈 뒤 x+1/x 치환이 핵심입니다.

① x²으로 나누기 — x≠0이므로 x²−5x−4−5/x+1/x²=0. (x²+1/x²)−5(x+1/x)−4=0. x+1/x=X로 놓으면 x²+1/x²=X²−2이므로 (X²−2)−5X−4=0 → X²−5X−6=0.

② X에 대한 이차방정식 — (X+1)(X−6)=0 → X=−1 또는 X=6.

③ 실근 결정 — X=−1: x+1/x=−1 → x²+x+1=0, D=1−4<0 (허근). X=6: x+1/x=6 → x²−6x+1=0, D=36−4>0 (실근 2개). 따라서 α, β는 x²−6x+1=0의 근. α+β=6, αβ=1이므로 (α−β)²=(α+β)²−4αβ=36−4=32.