마플시너지공수1답지 0992번 TOUGH 사차방정식 실근·허근 보기 판단 핵심 포인트

0992번은 7단원 고차방정식 TOUGH 문제(2020년 3월 고2 학평 20번)로, x⁴+(3−2a)x²+a²−3a−10=0이 실근과 허근을 모두 가질 때 보기 ㄱ, ㄴ, ㄷ을 판단하는 문제입니다.

① 인수분해 — x²=X 치환 → X²+(3−2a)X+(a+2)(a−5)=0 → (x²−a−2)(x²−a+5) = 0. x²=a+2 또는 x²=a−5.

② 실근·허근 조건 — 실근: a+2≥0 → a≥−2. 허근: a−5<0 → a<5. 따라서 −2 ≤ a < 5.

③ ㄱ. a=1일 때 실근 곱 −3 [참] — 실근 ±√3, 곱=−(a+2)=−3. ㄴ. 실근 곱 −4이면 허근 곱 3 [참] — −(a+2)=−4 → a=2, 허근 ±√3i, 곱=3. ㄷ. 정수인 근 가지는 a의 합 −1 [참] — x=±√(a+2)가 정수 → a+2=0,1,4 → a=−2,−1,2, 합=−1.

옳은 것: ㄱ, ㄴ, ㄷ → ⑤번.