마플시너지공수1답지 0979번 TOUGH 사차방정식 실근 3개 핵심 포인트

0979번은 7단원 고차방정식 TOUGH 문제(2022년 9월 학평 27번)로, x⁴+(2a+1)x³+(3a+2)x²+(a+2)x=0의 서로 다른 실근 개수가 3이 되도록 하는 모든 실수 a의 값의 곱을 구하는 문제입니다.

① 인수분해 — f(−1)=0(k가 소거)이므로 x+1이 인수. 조립제법으로 f(x) = x(x+1)(x²+2ax+a+2)입니다.

② 서로 다른 실근 3개 조건 — x=0, x=−1은 이미 서로 다른 실근 2개. x²+2ax+a+2=0이 중근 1개를 가져야 합니다(0,−1과 다른). 세 경우: (ⅰ) x=0이 중근 → a=−2, (ⅱ) x=−1이 중근 → a=3, (ⅲ) 이차식이 중근 → D/4=a²−a−2=0에서 a=−1 또는 a=2.

③ 각 a값을 대입해 검증하면 모두 서로 다른 실근 3개 조건 만족. a = −2, −1, 2, 3이고 곱 = (−2)×(−1)×2×3 = 12.