마플시너지공수1답지 0928번 행복한 1등급 교점 수선 삼각형 넓이 핵심 포인트

0928번은 6단원 이차함수의 최대와 최소 행복한 1등급 문제로, −2 < k < 2에서 y = −x² + 1과 y = 2x + k의 두 교점 A, B에서 x축에 수선을 내리고, 직선과 x축의 교점 C를 이용해 삼각형 ACA₁과 BCB₁의 넓이 합이 3/2일 때 k = p + q√7를 구하는 고난도 문제입니다. 좌표 설정 → 근과 계수의 관계 → 넓이를 대칭식으로 표현하는 다단계 풀이가 핵심입니다.

발상 포인트: ① 좌표 설정 — A, B의 x좌표를 α, β라 하면 A(α, 2α+k), B(β, 2β+k)이고, A₁(α, 0), B₁(β, 0), C(−k/2, 0)입니다. −x²+1 = 2x+k에서 x²+2x+k−1 = 0이므로 α+β = −2, αβ = k−1입니다.

② 삼각형 넓이를 대칭식으로 표현 — S₁ = (1/2)|2α+k|·|α+k/2| = (k/2+α)², S₂ = (k/2+β)²입니다. S₁ + S₂ = (k/2+α)² + (k/2+β)² = 3/2를 전개하면, (α²+β²) + k(α+β) + k²/2 = 3/2에서 α²+β² = (α+β)²−2αβ = 4−2(k−1) = 6−2k를 대입합니다.

③ k에 대한 이차방정식 — 정리하면 k² − 8k + 9 = 0이므로 k = 4 ± √7입니다. −2 < k < 2이므로 k = 4 − √7입니다. 따라서 p = 4, q = −1이고, 10p + q = 10×4 + (−1) = 39입니다.