마플시너지공수1답지 0920번 서술형 이차식 치환 핵심 포인트

0920번은 6단원 이차함수의 최대와 최소 서술형 기출유형으로, −3 ≤ x ≤ 0에서 y = −3(x² + 2x − 1)² + 6(x² + 2x)의 최솟값과 최댓값을 이차식 치환으로 구하는 2단계 서술형 문제입니다. 사차식을 직접 전개하지 않고, 반복되는 이차식을 하나의 문자로 치환한 뒤 새 변수의 범위를 정하는 것이 핵심 전략입니다.

발상 포인트: ① t = x² + 2x − 1로 치환하고 t의 범위 결정 — t = x² + 2x − 1 = (x + 1)² − 2이므로, 꼭짓점의 x좌표가 −1입니다. 구간 [−3, 0]에 꼭짓점이 포함되므로, x = −1일 때 최솟값 t = −2, 끝점 x = −3일 때 t = 9 − 6 − 1 = 2, x = 0일 때 t = −1입니다. 따라서 −2 ≤ t ≤ 2입니다.

② y를 t에 대한 이차함수로 변환 — x² + 2x = t + 1이므로, y = −3t² + 6(t + 1) = −3t² + 6t + 6 = −3(t − 1)² + 9입니다. 구간 [−2, 2]에서 꼭짓점 t = 1이 포함되므로, 최댓값은 t = 1일 때 9이고, 대칭축 t = 1에서 더 먼 끝점 t = −2에서 최솟값은 −3(−2 − 1)² + 9 = −18입니다.