마플시너지공수1답지 0919번 서술형 그래프 위 점 이동 핵심 포인트

0919번은 6단원 이차함수의 최대와 최소 서술형 기출유형으로, y = x² − 5x + 4의 그래프에서 y축 교점 A, x축 교점 B·C를 구한 뒤, 점 P(a, b)가 A에서 출발해 그래프를 따라 B → C까지 움직일 때 a + b + 10의 최댓값과 최솟값의 합을 구하는 문제입니다. 그래프 위의 점 좌표를 한 문자로 표현한 뒤 이차함수 최적화로 연결하는 사고력이 핵심입니다.

발상 포인트: ① 세 점 A, B, C의 좌표와 a의 범위 — y축 교점 A(0, 4), x² − 5x + 4 = 0에서 (x − 1)(x − 4) = 0이므로 B(1, 0), C(4, 0)입니다. 점 P가 A에서 C까지 이동하므로 0 ≤ a ≤ 4입니다.

② a, b의 관계식 — P(a, b)는 그래프 위의 점이므로 b = a² − 5a + 4입니다. ③ a + b + 10을 a에 대한 이차식으로 변환 — a + b + 10 = a + (a² − 5a + 4) + 10 = a² − 4a + 14 = (a − 2)² + 10입니다. 구간 [0, 4]에서 꼭짓점 a = 2일 때 최솟값 10, 끝점 a = 0 또는 a = 4일 때 최댓값 14입니다. 따라서 합은 10 + 14 = 24입니다.