232 분할과 분배 🎁📦: 묶고 나누는 경우의 수 마스터!
⭐ 핵심만정리
물건을 묶음으로 나누고, 그 묶음을 다시 배열하는 경우의 수! ‘분할’과 ‘분배’의 핵심을 알아봐요! 🧐
- 분할이란? 여러 개의 서로 다른 물건을 몇 개의 묶음으로 나누는 것을 말해요.
- 분배이란? 분할된 묶음을 (예를 들어, 여러 사람에게) 일렬로 나열하거나 나누어 주는 것을 말해요.
- 분할의 수 구하는 방법 (n개를 p개, q개, r개로 분할, p+q+r=n):
- p, q, r이 모두 다른 수일 때: nCp × n-pCq × rCr
- p, q, r 중 어느 두 수가 같을 때 (예: p=q): (nCp × n-pCq × rCr) × 12! (같은 개수의 묶음끼리 자리 바꾸는 중복 제거!)
- p, q, r 세 수가 모두 같을 때: (nCp × n-pCq × rCr) × 13! (같은 개수의 묶음끼리 자리 바꾸는 중복 제거!)
- 분배의 수 구하는 방법: (분할한 묶음을 k명에게 나누어 주는 경우)
- (분할하는 방법의 수) × k! (분할된 묶음을 나열하는 경우의 수)
묶음의 개수가 같을 때는 중복되는 경우를 꼭! 나눠줘야 한다는 점, 잊지 마세요! 😉
📚 개념정리
안녕, 경우의 수 정리왕 친구들! 👑 오늘은 물건들을 여러 묶음으로 나누고(분할), 그 나눈 묶음들을 다시 배열하거나 나누어 주는(분배) 경우의 수를 어떻게 세는지 알아볼 거예요. 조금 헷갈릴 수 있지만, 원리를 이해하면 아주 재미있답니다! 😊
분할이란? 똑똑하게 묶음 나누기! 🛍️
분할은 여러 개의 서로 다른 물건을 몇 개의 묶음으로 나누는 것을 말해요. 예를 들어, 서로 다른 4개의 과자 A, B, C, D를 1개, 3개의 두 묶음으로 나누거나, 2개, 2개의 두 묶음으로 나누는 경우를 생각해 볼 수 있죠.
분할의 수 계산 방법:
서로 다른 n개의 물건을 p개, q개, r개 (p+q+r=n)의 세 묶음으로 분할하는 방법의 수는 묶음의 크기가 같은지 다른지에 따라 달라져요.
- 묶음의 크기(p, q, r)가 모두 다를 때:
단순히 조합을 이용해서 차례대로 뽑으면 돼요!
nCp × n-pCq × rCr (또는 n-p-qCr) - 묶음의 크기 중 어느 두 개가 같을 때 (예: p=q, r은 다름):
만약 p개짜리 묶음과 q개짜리 묶음의 개수가 같다면, 예를 들어 4개의 물건을 (A,B)와 (C,D)로 나누는 것과 (C,D)와 (A,B)로 나누는 것은 사실상 같은 분할이죠? 이렇게 묶음의 개수가 같으면 중복이 발생해요. 그래서 같은 개수의 묶음이 k개 있다면 k!으로 나누어 주어야 중복을 제거할 수 있답니다!
만약 p와 q의 개수가 같다면: (nCp × n-pCq × rCr) × 12! - 묶음의 크기가 모두 같을 때 (p=q=r):
세 묶음의 크기가 모두 같다면, 세 묶음이 서로 자리를 바꾸는 3!가지 경우가 중복되므로 3!으로 나누어 줘요.
(nCp × n-pCq × rCr) × 13!
✨ 예시: 4개의 물건 A, B, C, D 분할하기
(1) 1개, 3개의 두 묶음으로 나누는 경우:
묶음의 크기가 다르므로 중복 걱정 없어요!
4C1 (4개 중 1개 선택) × 3C3 (남은 3개 중 3개 선택) = 4 × 1 = 4가지.
실제로 (A, {B,C,D}), (B, {A,C,D}), (C, {A,B,D}), (D, {A,B,C}) 이렇게 4가지 경우가 나와요.
(2) 2개, 2개의 두 묶음으로 나누는 경우:
묶음의 크기가 같으므로 중복을 생각해야 해요!
일단 뽑아보면: 4C2 (4개 중 2개 선택) × 2C2 (남은 2개 중 2개 선택) = 6 × 1 = 6가지.
하지만 이 6가지 안에는 예를 들어 ({A,B}, {C,D})와 ({C,D}, {A,B})처럼 순서만 바뀐 같은 분할이 포함되어 있어요. 두 묶음이 자리를 바꾸는 경우(2!)만큼 중복되므로 2!로 나눠줘야 해요.
따라서 분할하는 방법의 수는 6 × 12! = 6 × (1/2) = 3가지.
실제로 ({A,B}, {C,D}), ({A,C}, {B,D}), ({A,D}, {B,C}) 이렇게 3가지 경우가 나온답니다.
분배란? 나눈 묶음을 나누어 주기! 🎁
분배는 이렇게 분할한 묶음들을 (예를 들어, 서로 다른 사람들에게) 나누어 주는 것을 말해요. 분할된 묶음들은 이제 각각 구별되는 것으로 보고, 이것들을 나열하거나 배정하는 경우의 수를 생각하면 된답니다.
일반적으로, m개의 묶음으로 분할한 후, 이 m개의 묶음을 m명의 사람에게 나누어 주는 방법의 수는
(분할하는 방법의 수) × m! (분할된 묶음을 일렬로 나열하는 경우의 수) 로 계산할 수 있어요.
위 예시에서 4개의 물건을 2개, 2개의 두 묶음으로 분할하는 방법은 3가지였죠? 이 두 묶음을 서로 다른 두 사람 A, B에게 나누어 주는 방법의 수는?
(분할의 수) × (두 묶음을 A, B에게 나열하는 경우의 수) = 3 × 2! = 3 × 2 = 6가지가 됩니다.
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✅ 개념확인
✏️ 문제: 서로 다른 6권의 책을 다음과 같이 나누는 방법의 수를 구하시오.
(1) 2권, 2권, 2권씩 세 묶음으로 나누는 방법
(2) 1권, 2권, 3권씩 세 묶음으로 나누는 방법
(3) (1)에서 나눈 세 묶음을 세 명의 학생에게 나누어 주는 방법
💡 풀이:
(1) 2권, 2권, 2권씩 세 묶음으로 나누는 방법 (분할)
6권 중 2권을 뽑고 (6C2), 남은 4권 중 2권을 뽑고 (4C2), 남은 2권 중 2권을 뽑아요 (2C2).
그런데 2권씩 묶음의 크기가 모두 같으므로, 이 세 묶음이 서로 자리를 바꾸는 3!가지 경우가 중복돼요. 따라서 3!로 나누어 주어야 합니다.
(6C2 × 4C2 × 2C2) × 13!
= (15 × 6 × 1) × (1/6) = 90 × (1/6) = 15가지
(2) 1권, 2권, 3권씩 세 묶음으로 나누는 방법 (분할)
묶음의 크기가 1권, 2권, 3권으로 모두 다르므로 중복을 걱정할 필요가 없어요.
6C1 × 5C2 × 3C3
= 6 × 10 × 1 = 60가지
(3) (1)에서 나눈 세 묶음을 세 명의 학생에게 나누어 주는 방법 (분배)
(1)에서 세 묶음으로 분할하는 방법의 수는 15가지였어요. 이 서로 다른 (내용물이 다른) 세 묶음을 세 명의 학생에게 나누어 주는 것은 세 묶음을 일렬로 나열하는 것과 같으므로 3!을 곱해주면 됩니다.
15 (분할의 수) × 3! (나열하는 경우의 수) = 15 × 6 = 90가지
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💡 참고
분할과 분배 문제를 풀 때 가장 헷갈리는 부분이 바로 ‘같은 개수의 묶음이 있을 때 k!로 나누어 주는 것’일 거예요! 🧐
왜 나누어 주어야 할까요? 예를 들어 4명의 학생 A,B,C,D를 두 명씩 두 조로 나눈다고 생각해 보세요. 처음에 A,B를 뽑고 남은 C,D를 뽑는 경우와, 처음에 C,D를 뽑고 남은 A,B를 뽑는 경우는 결국 {A,B}, {C,D}라는 똑같은 조 편성 결과를 가져오죠? 이렇게 뽑는 순서만 다르고 결과적으로 같은 묶음이 되는 경우를 중복으로 세지 않기 위해 나누어 주는 거랍니다.
하지만 분할된 묶음을 서로 다른 사람에게 ‘분배’할 때는 이야기가 달라요! {A,B} 묶음을 철수에게, {C,D} 묶음을 영희에게 주는 것과, {C,D} 묶음을 철수에게, {A,B} 묶음을 영희에게 주는 것은 다른 경우니까요. 그래서 분배할 때는 분할한 묶음들을 서로 다른 것으로 보고 나열하는 경우의 수(m!)를 곱해주는 거랍니다! 😉