231 조합이란? 🤔 순서 상관없이 뽑기! nCr 완전 정복!
⭐ 핵심만정리
경우의 수를 셀 때 ‘순서가 중요하지 않다면’? 바로 ‘조합’을 떠올리세요! 🙋♂️🙋♀️
- 조합이란? 서로 다른 n개에서 순서를 생각하지 않고 r개 (단, 0 < r ≤ n)를 택하는 것을 말해요.
- 조합의 수 기호: nCr 또는 C(n, r)로 나타내요. (C는 Combination의 첫 글자!)
- 조합의 수 계산 방법: 순열의 수 nPr을 r개를 나열하는 경우의 수 r!로 나누면 돼요!
nCr = nPrr! = n!r!(n-r)! - 중요한 성질:
- nC0 = 1, nCn = 1 (약속!)
- nCr = nCn-r (n개 중 r개를 뽑는 것은 n개 중 (n-r)개를 남기는 것과 같아요!)
- nCr = n-1Cr-1 + n-1Cr (파스칼의 삼각형에서 볼 수 있는 관계식!)
예를 들어, 5명 중에서 순서 상관없이 대표 2명을 뽑는 경우의 수는 5C2 = (5×4)/(2×1) = 10가지랍니다!
📚 개념정리
안녕, 경우의 수 탐험대원 친구들! 🚀 지난 시간에는 순서가 중요한 ‘순열’에 대해 배웠죠? 오늘은 그와 반대로 ‘순서가 중요하지 않은’ 경우를 세는 방법, 바로 ‘조합’에 대해 알아볼 거예요. 조합은 우리 주변에서 물건을 고르거나 팀을 구성하는 등 다양한 상황에서 활용된답니다! 😉
조합이 뭐길래? 순서는 넣어둬 넣어둬! 🤫
조합이란, 서로 다른 n개의 것들 중에서 순서를 생각하지 않고 r개를 고르는 것을 말해요. 지난 시간에 배운 순열은 순서대로 나열하는 것이 중요했지만, 조합은 그저 뽑는 것 자체에만 의미를 둔답니다.
예를 들어, 3명의 친구 A, B, C 중에서 2명의 대표를 뽑는다고 생각해 볼까요?
- (A, B)를 뽑는 것과 (B, A)를 뽑는 것은 대표 2명이라는 결과 면에서는 똑같죠? 그래서 조합에서는 이 둘을 같은 경우로 취급해요.
이렇게 순서에 상관없이 n개에서 r개를 택하는 조합의 가짓수를 기호로 nCr 또는 C(n,r)와 같이 나타내요. 여기서 C는 ‘조합’을 뜻하는 영어 단어 Combination의 첫 글자 C에서 따온 거예요.
✨ 예시: 순열과 조합의 차이
3개의 문자 a, b, c에서 2개를 뽑는 경우를 생각해 볼게요.
- 순열 (순서 중요 O): (a,b), (b,a), (a,c), (c,a), (b,c), (c,b) ➡️ 3P2 = 3 × 2 = 6가지
- 조합 (순서 중요 X): {a,b}, {a,c}, {b,c} ➡️ 3C2 = 3가지
어떤 모임에서 회장 1명과 부회장 1명을 뽑는 것은 순서가 중요하므로 순열이지만, 단순히 대표 2명을 뽑는 것은 순서가 중요하지 않으므로 조합이랍니다.
조합의 수 nCr 계산은 어떻게 할까? 🧐
조합의 수는 순열의 수를 이용해서 계산할 수 있어요!
서로 다른 n개에서 r개를 택하여 일렬로 나열하는 순열의 수 nPr에는, 사실 r개를 뽑은 다음 그 r개를 줄 세우는 경우의 수(r!)가 곱해져 있는 셈이에요.
즉, (n개 중 r개를 뽑는 조합의 수 nCr) × (r개를 줄 세우는 경우의 수 r!) = (n개 중 r개를 뽑아 줄 세우는 순열의 수 nPr) 이라는 관계가 성립해요.
nCr × r! = nPr
따라서 조합의 수 nCr은 다음과 같이 계산합니다:
nCr = nPrr!
우리가 nPr = n! / (n-r)! 임을 알고 있으니, 이것을 대입하면 조합의 수를 팩토리얼로도 표현할 수 있어요:
nCr = n!r!(n-r)! (단, 0 ≤ r ≤ n)
조합의 중요한 성질들! 💎
조합에는 계산을 편리하게 해주는 몇 가지 중요한 성질들이 있어요.
- nC0 = 1 그리고 nCn = 1
n개 중에서 아무것도 뽑지 않는 경우(nC0)는 ‘아무것도 안 뽑는 그 상태’ 1가지로 약속하고, n개 중에서 n개 전부를 뽑는 경우(nCn)도 ‘전부 다 뽑는 그 상태’ 1가지로 생각해요. 위 팩토리얼 공식에 0!=1을 대입하면 이 값들이 자연스럽게 나온답니다! - nCr = nCn-r
예를 들어, 5명 중에서 2명을 뽑는(5C2) 경우의 수는, 5명 중에서 뽑지 않을 3명을 고르는(5C3) 경우의 수와 같아요. 이 성질을 이용하면 r값이 클 때 계산을 더 쉽게 할 수 있답니다! (예: 10C8 보다는 10C2로 계산하는 것이 편하겠죠?) - nCr = n-1Cr-1 + n-1Cr (단, 1 ≤ r < n)
이것은 조합의 수를 계산하는 또 다른 방법으로, ‘파스칼의 삼각형’이라는 것과 깊은 관련이 있어요. n개 중에서 r개를 뽑는 경우는, (1) 특정한 1개를 반드시 포함해서 뽑고 나머지 n-1개 중에서 r-1개를 더 뽑는 경우와 (2) 특정한 1개를 아예 제외하고 나머지 n-1개 중에서 r개를 뽑는 경우의 합과 같다는 의미예요.
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✅ 개념확인
✏️ 문제 1: 다음 조합의 값을 구하시오.
(1) 6C2
(2) 7C3
(3) 8C8
(4) 9C1
(숫자 변경: (1) ₅C₂ (2) ₁₀C₄ (3) ₄C₄ (4) ₈C₁)💡 풀이 1:
(1) 6C2
6C2 = 6P22! = 6 × 52 × 1 = 302 = 15
(2) 7C3
7C3 = 7P33! = 7 × 6 × 53 × 2 × 1 = 2106 = 35
(3) 8C8
성질에 의해 nCn = 1이므로, 8C8 = 1 입니다.
(4) 9C1
9C1 = 9P11! = 91 = 9. (9개 중에 1개 뽑는 거니까 당연히 9가지겠죠?)
✏️ 문제 2: 다음을 구하시오.
(1) 서로 다른 5개의 과자 중에서 3개를 고르는 방법의 수
(2) 10명의 학생 중에서 축구 시합에 나갈 선수 4명을 선발하는 방법의 수
(숫자 변경: (1) 6개 사탕 중 2개 (2) 12명 탁구 선수 중 3명)💡 풀이 2:
순서가 중요하지 않게 뽑는 경우이므로 조합을 사용해요!
(1) 서로 다른 5개의 과자 중에서 3개를 고르는 방법의 수
5C3 과 같아요. 5C3 = 5C(5-3) = 5C2 성질을 이용하면 더 쉽죠!
5C2 = 5 × 42 × 1 = 10가지
(2) 10명의 학생 중에서 축구 시합에 나갈 선수 4명을 선발하는 방법의 수
10C4 와 같아요.
10C4 = 10 × 9 × 8 × 74 × 3 × 2 × 1 = 10 × 3 × 7 = 210가지
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💡 참고
조합의 성질 nCr = nCn-r은 정말 유용해요! 예를 들어 100C98을 계산해야 한다고 생각해 보세요. 직접 100 × 99 × … 를 98번 곱하고 나누려면 정말 끔찍하겠죠? 😱 하지만 이 성질을 이용하면 100C98 = 100C(100-98) = 100C2 로 바뀌어서 (100 × 99) / (2 × 1) = 4950 처럼 훨씬 간단하게 계산할 수 있답니다!
또 다른 성질 nCr = n-1Cr-1 + n-1Cr은 ‘파스칼의 삼각형’에서 이웃한 두 수를 더하면 바로 아래 수가 되는 규칙과 똑같아요. 이 삼각형에는 조합에 대한 많은 비밀이 숨겨져 있답니다! 나중에 확률과 통계 단원에서 더 자세히 만나게 될 거예요. 😉