⭐ 핵심만정리

순열 계산을 더욱 강력하게 만들어 줄 두 가지 비밀 병기, n의 계승(팩토리얼)과 특별한 약속들을 알아봐요! ⚔️

• n의 계승 (n 팩토리얼, n!): 1부터 n까지의 자연수를 차례대로 모두 곱한 것이에요!
  n! = n × (n-1) × (n-2) × … × 3 × 2 × 1
• n!을 이용한 순열의 수 표현:
  • 서로 다른 n개를 모두 택하여 일렬로 나열하는 경우의 수: _nP_n = n!
  • 일반적인 순열의 수: _nP_r = n!(n-r)! (단, 0 ≤ r ≤ n)
• 특별한 약속 (규칙성을 위한 약속!):
  • _nP₀ = 1 (n개 중에서 0개를 뽑아 나열하는 경우는 1가지로 약속해요)
  • 0! = 1 (0 팩토리얼은 1로 약속해요. 위 공식이 r=n일 때도 성립하게 해준답니다!)

이것들을 알면 순열 계산이 훨씬 깔끔하고 강력해져요! 💪

📚 개념정리

안녕, 순열 마법사 친구들! 🧙‍♂️ 지난 시간에 순열 _nP_r이 무엇인지, 어떻게 계산하는지 배웠죠? 오늘은 순열 계산을 더욱 편리하고 체계적으로 만들어주는 아주 중요한 개념인 ‘n의 계승 (또는 n 팩토리얼)’과 몇 가지 특별한 약속에 대해 알아볼 거예요. 이것들을 배우면 순열이 한층 더 가까워질 거랍니다! 😊

n의 계승 (n 팩토리얼, n!) 이란? 팩토리처럼 착착! 🏭

n의 계승이란, 1부터 n까지의 모든 자연수를 차례대로 곱한 것을 말해요. 이것을 기호로 n! 과 같이 나타내고, ‘n 팩토리얼’이라고 읽기도 한답니다.

n! = n × (n-1) × (n-2) × … × 3 × 2 × 1

n!을 이용한 순열의 수 표현: 더 깔끔하게! 📝

이 n 팩토리얼을 이용하면 순열의 수를 더 간결하게 표현할 수 있어요.

• _nP_n (서로 다른 n개 전부를 나열하는 경우):
  서로 다른 n개에서 n개를 모두 택하여 일렬로 나열하는 순열의 수는 n × (n-1) × … × 1 이므로, 바로 n!과 같아요!
  _nP_n = n!
• 일반적인 _nP_r (n개 중 r개를 나열하는 경우, 0 < r < n일 때):
  우리가 배운 _nP_r = n × (n-1) × … × (n-r+1) 식을 팩토리얼을 이용해서 나타내면 다음과 같아요.

  _nP_r = n × (n-1) × … × (n-r+1) × (n-r) × … × 1(n-r) × (n-r-1) × … × 1 = n!(n-r)!

  즉, _nP_r = n!(n-r)! 이라는 아주 멋진 공식을 얻을 수 있답니다! 🥳

특별한 약속들: _nP₀와 0!의 비밀 🤫

위에서 배운 팩토리얼 공식 _nP_r = n! / (n-r)! 이 좀 더 폭넓게, 즉 r=0일 때나 r=n일 때도 잘 성립하도록 하기 위해 수학자들이 몇 가지 약속을 만들었어요.

• _nP₀ = 1로 약속해요.
  서로 다른 n개 중에서 0개를 택하여 나열하는 경우는 ‘아무것도 선택하지 않고 그대로 두는’ 한 가지 경우로 생각해서 1로 정의한답니다. 이렇게 정의하면 위 팩토리얼 공식에 r=0을 대입했을 때 _nP₀ = n! / (n-0)! = n! / n! = 1이 되어 공식이 잘 성립해요!
• 0! = 1로 약속해요.
  0 팩토리얼은 1이라고 정의해요. 엥? 0개를 곱하는데 왜 1이냐고요? 이것도 약속인데요, 이렇게 정의하면 위 팩토리얼 공식이 r=n일 때도 잘 성립하기 때문이에요. _nP_n = n! / (n-n)! = n! / 0! 이죠. 우리가 _nP_n = n! 임을 이미 알고 있으니, 이 식이 성립하려면 0!은 반드시 1이어야 한답니다!

이러한 약속들 덕분에 순열의 수를 나타내는 공식 _nP_r = n! / (n-r)!은 0 ≤ r ≤ n인 모든 경우에 대해 성립하게 돼요! 정말 편리하죠?

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✅ 개념확인

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💡 참고