227 경우의 수 (1) 합의 법칙 ➕: ‘또는’의 마법!
⭐ 핵심만정리
경우의 수 계산의 첫걸음, 합의 법칙! 이것만 기억하면 ‘또는’ 문제는 문제없어요! 🥳
- 사건이란? 실험이나 관찰에 의해 나타나는 결과예요.
- 경우의 수란? 어떤 사건이 일어날 수 있는 모든 경우의 가짓수랍니다.
- 합의 법칙이란?
- 두 사건 A, B가 동시에 일어나지 않을 때,
- 사건 A가 일어나는 경우의 수가 m가지, 사건 B가 일어나는 경우의 수가 n가지이면,
- 사건 A 또는 사건 B가 일어나는 경우의 수는 m + n 가지예요!
핵심은 ‘동시에 일어나지 않을 때’와 ‘또는’이랍니다! 이 두 가지를 꼭 기억하세요! 😉
📚 개념정리
안녕, 수학 탐험가 친구들! 🧐 오늘은 새로운 단원, ‘경우의 수’의 세계로 함께 떠나볼 거예요. 경우의 수는 어떤 일이 일어날 수 있는 가능성의 가짓수를 세는 건데요, 그 첫 번째 관문이 바로 ‘합의 법칙’이랍니다! 합의 법칙이 무엇인지, 언제 사용하는지 쉽고 재미있게 알아봅시다! 😊
사건과 경우의 수가 뭐길래? 🤔
합의 법칙을 배우기 전에 잠깐! ‘사건’과 ‘경우의 수’라는 단어의 뜻부터 확실히 알아야겠죠?
- 사건 (Event): 주사위를 던졌을 때 ‘짝수의 눈이 나오는 것’, 동전을 던졌을 때 ‘앞면이 나오는 것’처럼 실험이나 관찰에 의해 나타나는 결과를 말해요.
- 경우의 수 (Number of Cases): 어떤 사건이 일어날 수 있는 모든 방법의 가짓수를 말해요. 예를 들어, 주사위를 한 번 던질 때 짝수의 눈이 나오는 사건의 경우의 수는 (2, 4, 6) 이렇게 3가지가 되겠죠?
합의 법칙: “또는”으로 연결될 때 더해요! ➕
자, 이제 오늘의 주인공 ‘합의 법칙’을 만나볼 시간이에요! 합의 법칙은 언제 사용하냐면요,
두 사건 A와 B가 절대로 동시에 일어나지 않을 때,
사건 A가 일어나는 경우의 수가 m가지이고, 사건 B가 일어나는 경우의 수가 n가지라면,
사건 A 또는 사건 B가 일어나는 경우의 수는 m + n 가지라는 아주 간단하고 중요한 법칙이에요!
여기서 핵심 키워드는 바로 “동시에 일어나지 않을 때”와 “또는”이랍니다! 이 두 가지 조건을 만족할 때 각 사건의 경우의 수를 그냥 더해주면 되는 거예요.
✨ 예시로 이해하기: 학교 가는 방법
집에서 학교까지 가는데 버스 노선이 3가지 있고, 지하철 노선이 2가지 있다고 해봅시다. 버스를 타면서 동시에 지하철을 탈 수는 없겠죠? 즉, 버스를 타는 사건과 지하철을 타는 사건은 동시에 일어날 수 없어요.
이때, 버스 또는 지하철을 타고 학교에 가는 모든 경우의 수는 몇 가지일까요?
- 버스를 타는 경우의 수: 3가지
- 지하철을 타는 경우의 수: 2가지
합의 법칙에 따라, 두 경우의 수를 더해주면 돼요!
3 + 2 = 5가지
따라서 버스 또는 지하철로 학교에 가는 방법은 총 5가지랍니다! 참 쉽죠? 😄
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✅ 개념확인
✏️ 문제: 1부터 20까지의 자연수가 각각 하나씩 적힌 20장의 카드 중에서 한 장의 카드를 뽑을 때, 카드에 적힌 수가 3의 배수 또는 7의 배수인 경우의 수를 구하시오.
(원본 문제: 1부터 30까지, 4의 배수 또는 9의 배수 )💡 풀이:
이 문제는 ‘또는’으로 연결되어 있고, 3의 배수이면서 동시에 7의 배수인 수(즉, 21의 배수)는 1부터 20까지의 범위에는 없으므로 두 사건은 동시에 일어나지 않아요. 따라서 합의 법칙을 사용할 수 있겠네요!
사건 A: 카드에 적힌 수가 3의 배수인 경우
1부터 20까지의 3의 배수는 3, 6, 9, 12, 15, 18 이렇게 6가지가 있어요.
사건 B: 카드에 적힌 수가 7의 배수인 경우
1부터 20까지의 7의 배수는 7, 14 이렇게 2가지가 있어요.
두 사건 A와 B는 동시에 일어날 수 없으므로 (3의 배수이면서 7의 배수인 21은 범위 밖), 합의 법칙에 따라 두 경우의 수를 더하면 됩니다.
따라서 구하는 경우의 수는 6 + 2 = 8가지 입니다! 🥳
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💡 참고
합의 법칙을 사용할 때 가장 중요한 것은 두 사건이 ‘동시에 일어나지 않는지’를 확인하는 거예요! 만약 동시에 일어나는 경우가 있다면, 단순히 더하기만 해서는 안 된답니다. 😮
예를 들어, 1부터 10까지의 수 중에서 2의 배수 또는 3의 배수를 뽑는 경우를 생각해 볼까요?
- 2의 배수: 2, 4, 6, 8, 10 (5가지)
- 3의 배수: 3, 6, 9 (3가지)
단순히 5 + 3 = 8가지라고 하면 틀려요! 왜냐하면 ‘6’은 2의 배수이면서 동시에 3의 배수이기 때문에 두 번 세어졌기 때문이죠. 이렇게 동시에 일어나는 경우가 있다면, 그 경우의 수를 한 번 빼주어야 해요. 그래서 5 + 3 – 1 = 7가지가 올바른 답이 된답니다. (이것은 나중에 ‘포함-배제의 원리’라는 이름으로 더 자세히 배우게 될 거예요!)
합의 법칙은 어느 두 사건도 동시에 일어나지 않는 셋 이상의 사건에 대해서도 똑같이 적용할 수 있어요! 각 사건의 경우의 수를 모두 더해주면 된답니다.