📐 수학 답지 모음
■ 대수 (Algebra) ■ 미적분Ⅰ (Calculus 1) ■ 미적분Ⅰ 교과서다항식의 곱 조건 완전 정복
f(x)f(x+1) = x⁴+3x²+4 유형 최적화 풀이
문제 원문
다항식 f(x)가 모든 실수 x에 대하여
를 만족시킬 때, |f(1)|의 값은?
문제 구조 분석
이 문제가 물어보는 것
핵심 개념: 다항식의 인수분해
우변 x⁴+3x²+4를 두 이차식의 곱으로 인수분해하여 f(x)와 f(x+1)의 형태를 찾는 문제
물어보는 방식: 함수의 정체 역추적
f(x)·f(x+1) = (인수1)·(인수2) 형태에서 어느 인수가 f(x)인지 판별
빈칸의 위치: f(x)의 구체적 형태 결정
조건 “f(x)에 x 대신 x+1 대입 = f(x+1)”을 만족하는 형태 찾기
문제의 핵심 구조: 우변을 (A)(B)로 인수분해했을 때, f(x)=A이면 f(x+1)=B가 성립하는지 검증하는 것이 전부입니다. 즉, A에 x 대신 x+1을 대입한 결과가 B와 일치해야 합니다.
최적화 풀이 (3분 컷)
우변 인수분해 (완전제곱식 활용)
= x⁴ + 4x² + 4 – x²
= (x² + 2)² – x²
= (x² + x + 2)(x² – x + 2)
여기서 4를 만들기 위해 4x²가 필요 → 3x²에 x² 추가 후 빼기
f(x)와 f(x+1) 후보 설정
후보 ②: f(x) = x² – x + 2, f(x+1) = x² + x + 2
조건 검증: f(x)에 x+1 대입 = f(x+1)?
f(x) = x² + x + 2에 x → x+1 대입
f(x+1) = (x+1)² + (x+1) + 2
= x² + 2x + 1 + x + 1 + 2
= x² + 3x + 4 ≠ x² – x + 2 ❌ 탈락!
f(x) = x² – x + 2에 x → x+1 대입
f(x+1) = (x+1)² – (x+1) + 2
= x² + 2x + 1 – x – 1 + 2
= x² + x + 2 ✓ 일치!
정답 계산
f(1) = 1 – 1 + 2 = 2 또는 f(1) = -2
∴ |f(1)| = 2
학생들이 자주 하는 실수 3가지
케이스 1: 문제 일부만 보고 방향 잘못 잡기
인수분해 후 검증 없이 바로 대입
❌ 잘못된 접근
x⁴+3x²+4 = (x²+x+2)(x²-x+2)까지 인수분해한 후,
“앞에 있는 게 f(x)겠지” 하고 f(x) = x²+x+2로 설정
→ f(1) = 1+1+2 = 4 선택 → 오답!
문제점: f(x)에 x+1을 대입했을 때 f(x+1)이 되어야 한다는 핵심 조건을 검증하지 않음. 두 인수 중 어느 것이 f(x)인지 반드시 확인해야 함.
케이스 2: 불필요한 계산으로 시간 낭비
미정계수법으로 처음부터 f(x) 설정
❌ 비효율적 접근
f(x) = ax² + bx + c로 놓고 f(x)f(x+1) 전개 시작
f(x)f(x+1) = (ax²+bx+c)(a(x+1)²+b(x+1)+c)
= (ax²+bx+c)(ax²+(2a+b)x+(a+b+c))
전개하면 4차식이 되고… 계수 비교하면…
→ 5분 이상 소요, 계산 실수 확률 ↑
문제점: 우변을 먼저 인수분해하면 2분 내 해결 가능. 미정계수법은 이 유형에서 최악의 선택.
케이스 3: 풀이 과정 설계 실패
±부호 고려 안 하고 f(x) 하나만 찾음
❌ 불완전한 풀이
f(x) = x²-x+2만 찾고 |f(1)| 대신 f(1) = 2로 답을 냄
→ 이 문제는 정답이 맞지만, 만약 선지가 {-2, 2}였다면?
→ f(x) = -(x²-x+2)도 조건을 만족함을 놓침
문제점: f(x)·f(x+1) = (우변)에서 f(x) = ±(인수) 모두 가능. 절댓값이 왜 필요한지 이해하지 못하면 유사 문제에서 실수.
Before / After 비교
비효율적 풀이
- ✗ 미정계수법으로 f(x) = ax²+bx+c 설정
- ✗ f(x)f(x+1) 직접 전개 (4차식 계산)
- ✗ 계수 비교로 연립방정식 풀기
- ✗ 검증 없이 첫 번째 인수 선택
- ✗ ±부호 경우의 수 누락
최적화 풀이
- ✓ 우변 인수분해 먼저 (완전제곱 활용)
- ✓ 두 인수 중 f(x) 후보 설정
- ✓ x→x+1 대입 조건 검증
- ✓ 만족하는 인수 채택
- ✓ ±부호 모두 고려 → 절댓값
시험에서 얻는 실질적 이득
(6~8분 → 2~3분)
(40% → 95%)
(이 유형 기준)
추가 검토 가능
📌 수능/모의고사 환산 이득
| 이 유형 1문제 정답 시 | 4점 (준킬러 배점) |
| 절약 시간 5분으로 다른 문제 검토 | +2~3점 기대 |
| 계산 실수 방지 효과 | +1~2점 기대 |
| 총 기대 이득 | +7~9점 |
✅ 이 문제 유형 핵심 체크리스트
- 1 우변 인수분해 먼저! 미정계수법 절대 금지
- 2 x⁴+ax²+b 형태 → (x²+c)² – x² 완전제곱 변형
- 3 f(x+1) 조건 검증 필수! x→x+1 대입 결과 확인
- 4 ±부호 경우의 수 고려 → 절댓값 문제 주의