182 코시-슈바르츠 부등식 특강: 제곱의 합과 합의 제곱 사이의 관계! ⚖️
안녕하세요, 부등식의 세계를 더욱 깊이 탐험하는 친구들! 👋 지난 시간에는 산술평균과 기하평균의 관계를 이용하여 양수 조건에서 합 또는 곱의 최솟값/최댓값을 구하는 방법을 배웠어요. 오늘은 또 다른 매우 강력한 절대부등식 중 하나인 코시-슈바르츠 부등식(Cauchy-Schwarz Inequality)에 대해 알아볼 거예요. 이 부등식은 변수들이 실수라는 조건만 있으면 성립하며, 제곱의 합들의 곱과 합의 제곱 사이의 대소 관계를 알려준답니다! 이 부등식 역시 식의 최댓값 또는 최솟값을 구하는 데 유용하게 사용돼요. 함께 그 내용을 살펴볼까요? 🧐
📝 핵심만정리: 코시-슈바르츠 부등식!
a, b, x, y가 실수일 때, 다음 코시-슈바르츠 부등식이 항상 성립해요.
이때, 등호는 x&frasL;a = y&frasL;b (또는 ay=bx)일 때 성립합니다. (단, 분모가 0인 경우는 분자가 0인 경우로 해석합니다. )
이 부등식은 변수가 3개일 때도 유사하게 확장될 수 있어요:
a,b,c,x,y,z가 실수일 때, (a2+b2+c2)(x2+y2+z2) ≥ (ax+by+cz)2 (등호는 x/a = y/b = z/c 일 때 성립)
🤔 코시-슈바르츠 부등식이란 무엇일까요?
개념정리 182-1: 두 벡터 내적의 제곱과 각 벡터 크기 제곱의 곱! (심화)
코시-슈바르츠 부등식은 프랑스의 수학자 코시(Cauchy)가 처음 제시하고, 이후 독일의 수학자 슈바르츠(Schwarz)가 일반화한 매우 유명한 부등식이에요. 이 부등식은 여러 변수들의 제곱의 합들의 곱이 그 변수들을 쌍으로 곱하여 더한 것의 제곱보다 항상 크거나 같다는 것을 보여줍니다.
기하학적으로는 두 벡터의 내적의 제곱은 각 벡터의 크기의 제곱의 곱보다 작거나 같다는 의미를 가지기도 하지만, 고등학교 과정에서는 주로 대수적인 형태로 활용하여 식의 최댓값이나 최솟값을 구하는 데 사용됩니다.
산술-기하 평균 관계가 양수 조건에서 사용되었다면, 코시-슈바르츠 부등식은 실수 조건에서 폭넓게 사용될 수 있다는 점이 중요합니다!
🛠️ 코시-슈바르츠 부등식 증명하기: 완전제곱식의 마법!
개념정리 182-2: (실수)2 \ge 0 이용!
a, b, x, y가 실수일 때, (a2 + b2)(x2 + y2) ≥ (ax + by)2임을 증명해 봅시다.
좌변에서 우변을 뺀 값이 항상 0 이상임을 보이면 됩니다.
(a2 + b2)(x2 + y2) – (ax + by)2
= (a2x2 + a2y2 + b2x2 + b2y2) – (a2x2 + 2abxy + b2y2) (전개)
= a2x2 + a2y2 + b2x2 + b2y2 – a2x2 – 2abxy – b2y2
= a2y2 – 2abxy + b2x2 (동류항 정리)
이 식은 바로 (ay – bx)2으로 인수분해됩니다!
a, y, b, x가 모두 실수이므로 (ay-bx)도 실수이고, 실수의 제곱은 항상 0 이상입니다.
따라서 (ay – bx)2 ≥ 0 입니다.
결론적으로 (a2 + b2)(x2 + y2) – (ax + by)2 ≥ 0이므로,
(a2 + b2)(x2 + y2) ≥ (ax + by)2가 항상 성립합니다.
등호 성립 조건: 등호는 (ay – bx)2 = 0일 때, 즉 ay – bx = 0 ⇒ ay = bx일 때 성립합니다.
만약 a \ne 0, b \ne 0이라면, 이 조건은 x&frasL;a = y&frasL;b와 같습니다.
🚀 최댓값/최솟값 구하기 활용: 제곱의 합이 주어졌을 때!
개념정리 182-3: ax+by의 범위 찾기!
코시-슈바르츠 부등식 (a2 + b2)(x2 + y2) ≥ (ax + by)2은 x, y가 실수이고, x2+y2의 값과 ax+by 형태의 식의 값이 주어졌을 때, 또는 그 반대의 경우에 최댓값이나 최솟값을 구하는 문제에 유용하게 사용됩니다.
부등식의 양변에 제곱근을 취하면 (단, 각 항이 양수라는 보장은 없으므로 절댓값 처리 필요하나, 여기서는 (ax+by)2 \le k 꼴이므로 -\sqrt{k} \le ax+by \le \sqrt{k} 형태로 나타낼 수 있습니다.)
만약 a2+b2 = K1 (상수), x2+y2 = K2 (상수)로 주어진다면,
K1K2 \ge (ax+by)2 이므로,
-\sqrt{K1K2} \le ax+by \le \sqrt{K1K2}
와 같이 ax+by의 값의 범위를 구할 수 있게 됩니다. 따라서 최댓값과 최솟값을 알 수 있죠!
🧐 개념확인 문제: 코시-슈바르츠 부등식으로 범위 구하기!
이제 배운 코시-슈바르츠 부등식을 이용하여 식의 값의 범위를 구해봅시다!
a,b,x,y가 실수이고 a2+b2=5, x2+y2=3일 때, ax+by의 값의 범위를 구하시오. (PDF Check 문제)
정답 및 해설:
a,b,x,y가 실수이므로 코시-슈바르츠 부등식을 적용할 수 있습니다.
(a2 + b2)(x2 + y2) ≥ (ax + by)2
주어진 값을 대입하면,
(5)(3) ≥ (ax + by)2
15 ≥ (ax + by)2
이것은 (ax+by)2 \le 15와 같습니다.
어떤 실수의 제곱이 15 이하이므로, 그 실수는 -\sqrt{15}와 \sqrt{15} 사이에 있어야 합니다.
따라서 -√15 ≤ ax+by ≤ √15 입니다.
(등호는 x/a = y/b일 때 성립합니다.)
주어진 조건이 실수이고, 제곱의 합의 형태가 보인다면 코시-슈바르츠 부등식을 떠올려보세요! 😉
오늘은 실수 조건에서 성립하는 강력한 절대부등식인 코시-슈바르츠 부등식 (a²+b²)(x²+y²) ≥ (ax+by)²에 대해 배웠습니다. 이 부등식은 완전제곱식을 이용하여 증명할 수 있었고, x2+y2과 같은 제곱의 합의 값이 주어졌을 때 ax+by와 같은 일차식의 최댓값 또는 최솟값을 구하는 데 유용하게 활용되었죠? 등호 성립 조건도 함께 기억해두는 것이 중요합니다! 오늘도 수고 많으셨습니다! 다음 시간에는 새로운 단원, ‘함수’의 세계로 떠나보겠습니다. 🎢