두 양수 a, b (a>0, b>0)에 대하여,

• 산술평균 (Arithmetic Mean): ^(a+b)⁄₂
• 기하평균 (Geometric Mean): √(ab)
• 조화평균 (Harmonic Mean): ^(2ab)⁄_(a+b)

이 세 평균 사이에는 항상 다음과 같은 대소 관계가 성립합니다 (절대부등식):

이때, 등호는 a = b일 때 성립합니다.

특히, (a+b)/2 \ge \sqrt{ab} (또는 a+b \ge 2\sqrt{ab}) 관계는 양수 조건에서 합 또는 곱의 최솟값/최댓값을 구하는 데 매우 유용하게 사용됩니다.

개념정리 181-1: 다양한 평균의 세계!

두 양수 a와 b가 주어졌을 때, 이 두 수를 대표하는 ‘평균값’을 구하는 방법은 여러 가지가 있어요.

• 산술평균 (Arithmetic Mean): 우리가 가장 흔히 사용하는 평균으로, 두 수를 더해서 2로 나눈 값입니다.
  ^(a+b)⁄₂
• 기하평균 (Geometric Mean): 두 수를 곱한 값의 양의 제곱근입니다. 주로 비율이나 성장률 등의 평균을 구할 때 사용돼요.
  √(ab)
• 조화평균 (Harmonic Mean): 두 수의 역수들의 산술평균을 구한 뒤, 그 결과의 다시 역수를 취한 값입니다. 주로 속력이나 저항 등의 평균을 구할 때 사용돼요.
  ¹⁄_{( (1/a + 1/b) / 2 )} = ¹&frasL;_{( (a+b)/2ab )} = ^(2ab)⁄_(a+b)

개념정리 181-2: (실수)² \ge 0 이용!

두 양수 a, b에 대하여 ^(a+b)⁄₂ \ge √(ab)가 항상 성립함을 증명해 봅시다. 대소 비교는 차를 이용하는 것이 일반적이므로, (산술평균) – (기하평균)의 부호를 조사해 볼게요.

^(a+b)&frasL;₂ – √(ab) = ^{(a+b – 2√ab)}&frasL;₂

여기서 분자 a+b-2√ab는 (√a)² – 2√a√b + (√b)² (왜냐하면 a,b는 양수이므로 a=(\sqrt{a})^2, b=(\sqrt{b})^2로 쓸 수 있음) 과 같아요.
이것은 완전제곱식 (√a – √b)² 입니다!

따라서, ^(a+b)&frasL;₂ – √(ab) = ^{(√a – √b)2}&frasL;₂

√a와 √b는 실수이므로 (√a – √b)도 실수이고, 실수의 제곱은 항상 0 이상입니다 ((√a – √b)² \ge 0).
분모 2는 양수이므로, ^{(√a – √b)2}&frasL;₂ \ge 0 이 됩니다.

결론적으로 ^(a+b)&frasL;₂ – √(ab) \ge 0이므로, ^(a+b)&frasL;₂ \ge √(ab)가 항상 성립합니다.

등호 성립 조건: 등호는 (√a – √b)² = 0일 때, 즉 √a – √b = 0 ⇒ √a = √b ⇒ a = b일 때 성립합니다.

(마찬가지 방법으로 √(ab) \ge ^(2ab)⁄_(a+b)도 증명할 수 있어요. )

개념정리 181-3: 양수 조건에서 빛을 발하는 공식!

(산술평균) \ge (기하평균) 관계, 즉 ^(a+b)&frasL;₂ \ge √(ab)는 양변에 2를 곱하여

a+b \ge 2√(ab)   (단, a>0, b>0, 등호는 a=b일 때 성립)

형태로 더 자주 사용됩니다. 이 부등식은 두 양수의 합 또는 곱의 최솟값이나 최댓값을 구하는 문제에서 아주 강력한 도구가 됩니다.

• 두 양수의 곱이 일정할 때, 합의 최솟값을 구할 수 있습니다.
  (ab=k (일정) 이면, a+b \ge 2√k. 최솟값은 2√k)
• 두 양수의 합이 일정할 때, 곱의 최댓값을 구할 수 있습니다.
  (a+b=k (일정) 이면, k \ge 2√ab ⇒ k/2 \ge √ab ⇒ (k/2)² \ge ab. 최댓값은 (k/2)²)