178 절대부등식과 조건부등식: 항상 참인가, 때때로 참인가? 🤔
안녕하세요, 부등식의 세계를 탐험하는 친구들! 👋 우리가 등식을 배울 때, 문자의 값에 관계없이 항상 성립하는 ‘항등식’과 특정한 값에 대해서만 성립하는 ‘방정식’이 있었죠? 부등식의 세계에도 이와 비슷한 구분이 있답니다! 바로 절대부등식과 조건부등식인데요. 오늘은 이 두 가지 부등식이 각각 무엇을 의미하고, 어떤 차이가 있는지 알아볼 거예요. 어떤 부등식은 모든 실수에 대해 항상 진실을 말하고, 어떤 부등식은 특정 조건에서만 진실을 드러내는지 함께 살펴봅시다! 🧐
📝 핵심만정리: 절대부등식 vs 조건부등식!
문자를 포함하는 부등식은 그 성립 조건에 따라 다음과 같이 나눌 수 있어요.
- 절대부등식 (Absolute Inequality):
- 문자를 포함한 부등식에서 그 문자에 어떤 실수 값을 대입해도 항상 성립하는 부등식.
- 예: x2 + 1 > 0 (어떤 실수를 제곱해도 0 이상이므로, 1을 더하면 항상 0보다 크죠!)
- 주어진 집합의 모든 원소에 대하여 항상 성립하는 부등식을 의미해요.
- 조건부등식 (Conditional Inequality):
- 문자를 포함한 부등식에서 그 문자에 어떤 특정한 실수 값을 대입했을 때에만 성립하는 부등식.
- 예: x – 2 < 0 (이 부등식은 x < 2일 때만 성립하죠.)
🤔 부등식이란 무엇이었죠? (간단 복습)
개념정리 178-1: 대소 관계를 나타내는 식
다시 한번 기억을 되살려보면, 부등식은 부등호 <, >, \le, \ge를 사용하여 두 수 또는 두 식의 값의 대소 관계를 나타낸 식이었어요.
그리고 문자를 포함한 부등식에서, 그 부등식을 참이 되게 하는 문자의 값 또는 범위를 그 부등식의 해라고 하고, 해를 모두 구하는 것을 “부등식을 푼다”라고 했었죠.
🌟 절대부등식: 언제나 참인 부등식!
개념정리 178-2: 모든 실수에 대한 진리!
절대부등식은 문자를 포함하고 있는 부등식 중에서, 그 문자에 어떤 실수 값을 대입하더라도 항상 성립하는 부등식을 말해요. 마치 항등식이 문자에 어떤 값을 넣어도 항상 등호가 성립하는 것처럼, 절대부등식은 문자에 어떤 실수를 넣어도 항상 그 부등호 관계가 성립하는 것이죠.
즉, 절대부등식의 해는 모든 실수가 됩니다 (또는 주어진 전체집합의 모든 원소).
절대부등식의 예:
- x2 + 1 > 0
→ 어떤 실수 x를 제곱하면 x2 \ge 0이므로, x2+1은 항상 1 이상입니다. 따라서 항상 0보다 크죠. (모든 실수 x에 대해 성립) - (x-2)2 + 2 > 0
→ (x-2)2 \ge 0이므로, 여기에 2를 더하면 항상 2 이상입니다. 따라서 항상 0보다 큽니다. (모든 실수 x에 대해 성립) - x2 + x + 1 > 0
→ 이 식을 완전제곱꼴로 바꾸면 (x + 1&frasL;2)2 + 3&frasL;4가 됩니다. (x+1/2)2 \ge 0이고 3/4 > 0이므로, 이 식의 값은 항상 0보다 큽니다. (모든 실수 x에 대해 성립)
❓ 조건부등식: 때때로 참인 부등식!
개념정리 178-3: 특정 범위에서만 성립!
조건부등식은 문자를 포함한 부등식 중에서, 그 문자에 어떤 특정한 실수 값을 대입했을 때에만 성립하는 부등식을 말해요. 즉, 부등식의 해가 모든 실수가 아니라 특정 범위나 값으로 제한되는 경우입니다.
우리가 일반적으로 “부등식을 푼다”라고 할 때 다루는 대부분의 부등식이 바로 이 조건부등식에 해당해요.
조건부등식의 예:
- x – 2 < 0
→ 이 부등식은 x < 2라는 특정 범위에서만 성립합니다. - x + 5 > 0
→ 이 부등식은 x > -5라는 특정 범위에서만 성립합니다.
🧐 개념확인 문제: 절대부등식 찾아내기!
이제 배운 내용을 바탕으로 다음 보기에서 절대부등식인 것을 골라봅시다!
절대부등식인 것만을 보기에서 있는 대로 고르시오. (PDF Check 문제)
보기
ㄱ. x + 5 > 0
ㄴ. (x-2)2 + 2 > 0
ㄷ. x2 + x + 1 > 0
정답 및 해설:
- ㄱ. x + 5 > 0
→ 이 부등식은 x > -5일 때만 성립하므로, 조건부등식입니다. (예: x=-6이면 거짓) - ㄴ. (x-2)2 + 2 > 0
→ 실수 x에 대하여 (x-2)2 \ge 0이므로, (x-2)2 + 2는 항상 2 이상입니다. 따라서 모든 실수 x에 대하여 항상 0보다 큽니다. (절대부등식) - ㄷ. x2 + x + 1 > 0
→ 좌변을 완전제곱꼴로 변형하면 (x + 1&frasL;2)2 + 3&frasL;4 입니다.
실수 x에 대하여 (x + 1&frasL;2)2 \ge 0이므로, (x + 1&frasL;2)2 + 3&frasL;4는 항상 3&frasL;4 이상입니다. 따라서 모든 실수 x에 대하여 항상 0보다 큽니다. (절대부등식)
따라서 절대부등식인 것은 ㄴ, ㄷ 입니다.
어떤 문자를 대입해도 항상 부등호 관계가 유지되는지, 아니면 특정 값이나 범위에서만 유지되는지를 기준으로 판단하면 된답니다! 😉
오늘은 문자를 포함한 부등식을 문자에 어떤 실수를 대입해도 항상 성립하는 ‘절대부등식’과, 특정한 실수 값에 대해서만 성립하는 ‘조건부등식’으로 구분하는 방법에 대해 배웠습니다. 특히 (실수)2 \ge 0이라는 성질은 절대부등식을 판별하는 데 매우 유용하게 사용되었죠? 이 개념은 앞으로 여러 가지 부등식을 증명하거나 해의 존재 범위를 따질 때 중요한 기초가 될 거예요! 오늘도 수고 많으셨습니다! 다음 시간에는 두 실수 또는 두 식의 대소를 판단하는 여러 가지 방법에 대해 알아보겠습니다. ⚖️