좌표평면 위의 두 점 A, B와 한 직선 l 위의 동점 P에 대하여 AP + BP의 최솟값을 구하는 방법은 다음과 같아요. (단, 두 점 A, B는 직선 l에 대하여 같은 쪽에 있어야 합니다.)

1. 두 점 A, B 중 어느 한 점 (예: 점 B)을 직선 l에 대하여 대칭이동한 점 B’을 구해요.
2. 그러면 BP = B’P이므로, AP + BP = AP + B’P가 됩니다.
3. AP + B’P의 최솟값은 세 점 A, P, B’이 일직선을 이룰 때이고, 그 최솟값은 바로 선분 AB’의 길이와 같아요.
   (AP + B’P \ge AB’ (삼각형의 두 변의 길이의 합은 나머지 한 변의 길이보다 크거나 같다))

점 A를 대칭이동해도 결과는 같습니다.

개념정리 141-1: 최단 경로 찾기!

우리가 다루는 문제는 보통 다음과 같은 상황이에요:

• 좌표평면 위에 두 개의 고정된 점 A와 B가 주어집니다.
• 어떤 직선 l (예: x축, y축, 또는 y=x 등)이 주어집니다.
• 점 P는 이 직선 l 위를 자유롭게 움직이는 점(동점)입니다.

이때, 선분 AP의 길이와 선분 BP의 길이의 합, 즉 AP + BP가 최소가 되는 값을 구하거나, 그때의 점 P의 좌표를 구하는 문제가 출제됩니다.

이것은 마치 강가(l)에서 물을 떠서 다른 지점으로 가는 최단 경로를 찾는 문제와 유사하다고 생각할 수 있어요!

개념정리 141-2: 대칭점과 직선 연결!

두 점 A, B가 직선 l에 대하여 같은 쪽에 있을 때, AP + BP의 최솟값을 구하는 방법은 다음과 같습니다.

[풀이 단계]

1. 1단계: 한 점을 직선 l에 대하여 대칭이동하기
   두 점 A, B 중 어느 한 점 (예를 들어 점 B)을 직선 l에 대하여 대칭이동한 점 B’의 좌표를 구합니다.
2. 2단계: 대칭이동의 성질 이용하기
   점 B’은 점 B를 직선 l에 대해 대칭이동한 점이므로, 직선 l 위의 임의의 점 P에 대하여 항상 BP = B’P가 성립합니다.
   따라서 우리가 구하려는 AP + BP는 AP + B’P와 같아요.
3. 3단계: 최솟값 구하기 (두 점을 직선으로 연결)
   AP + B’P의 값이 최소가 되려면, 세 점 A, P, B’이 일직선 위에 있어야 합니다. 이때 점 P는 선분 AB’과 직선 l의 교점이 됩니다.
   따라서 AP + BP의 최솟값은 바로 선분 AB’의 길이와 같습니다.
   이 최솟값은 두 점 A와 B’ 사이의 거리 공식을 이용하여 구할 수 있습니다.