[고퀄리티풀이영상추천] 쎈대수 0048번 풀이 – 정육면체 부피와 삼각형 AFC 넓이 (지수법칙 활용)

안녕하세요! 이번에는 쎈 대수 1단원 48번 문제를 다뤄보겠습니다.

도형이 나오면 일단 긴장하는 학생들이 많은데요, 이 문제는 사실 [지수 법칙 계산] 능력을 테스트하는 문제입니다. 겉모습은 도형이지만, 알맹이는 꼼꼼한 계산력이죠.

Phase 1. 문제 조건 뜯어보기

문제에서 주어진 단서는 딱 하나입니다. “정육면체의 부피가 $\sqrt{3}$이다”

그리고 우리가 구해야 할 목표는 정육면체 안에 있는 삼각형 AFC의 넓이입니다. 넓이를 구한 뒤 식을 정리해서 $m, n$을 찾아야 하죠.

Phase 2. 어떻게 접근할까?

바로 계산하지 말고 계획을 세워봅시다. 삼각형의 넓이를 구하려면 변의 길이가 필요하겠죠?

Phase 3. 단계별 풀이 과정

Step 1. 정육면체 한 모서리의 길이 구하기

정육면체의 한 모서리의 길이를 $x$라고 합시다. 부피는 $x^3$이므로 다음과 같이 식을 세울 수 있습니다.

$$ x^3 = \sqrt{3} $$

우리는 $x$가 필요하니까 양변에 $\frac{1}{3}$제곱을 해줍니다. 거듭제곱근 성질을 이용하면 편해요.

$$ x = (\sqrt{3})^{\frac{1}{3}} = (3^{\frac{1}{2}})^{\frac{1}{3}} = 3^{\frac{1}{6}} = \sqrt[6]{3} $$

Step 2. 삼각형 AFC의 한 변의 길이 구하기

삼각형 AFC의 한 변은 정사각형의 대각선입니다. 피타고라스 정리에 의해 $1:1:\sqrt{2}$ 비율인 거 아시죠?

삼각형의 한 변의 길이를 $l$이라고 하면,

$$ l = \sqrt{2} \times x = \sqrt{2} \times \sqrt[6]{3} $$

Step 3. 넓이 공식 대입 및 지수 계산 (여기가 승부처!)

이제 정삼각형 넓이 공식에 대입합니다. 계산 실수를 줄이기 위해 지수($\frac{a}{b}$) 형태로 바꿔서 푸는 것을 추천합니다.

Phase 4. 최종 정답

우리가 구한 식 $\frac{\sqrt[6]{3^5}}{2}$ 과 문제의 조건 $\frac{\sqrt[n]{3^m}}{2}$ 을 비교해 봅니다.

• ✅ $m = 5$
• ✅ $n = 6$

5와 6은 서로소(공약수가 1뿐인 수)이므로 조건도 만족합니다.

이 문제는 중간에 $(\sqrt[6]{3})^2$을 $\sqrt[3]{3}$으로 약분하는 과정과, 지수끼리의 덧셈($\frac{1}{2}+\frac{1}{3}$)을 정확히 할 수 있는지가 관건이었습니다.

풀이 과정이 이해가 안 된다면, 반드시 거듭제곱근을 분수 지수로 바꾸는 연습을 다시 해보시길 바랍니다! 다음 포스팅에서 또 만나요.