안녕하세요! 오늘은 쎈 대수 1단원 43번(상) 문제를 함께 풀어보겠습니다.
이 문제는 식만 복잡해 보일 뿐, 사실 [거듭제곱근의 정의]를 정확히 알고 있는지 묻는 문제입니다. 많은 학생들이 이차부등식까지는 잘 풀고도 마지막 짝수/홀수 조건에서 실수를 하곤 하죠.
“$n$제곱근 중 음의 실수가 존재한다”는 조건이
$n$이 짝수일 때와 홀수일 때 어떻게 달라지는지 구분해야 합니다.
Phase 1. 문제 조건 해석하기
우선 문제에 나온 복잡한 이차식을 $A$라고 치환해서 간단하게 생각해 봅시다.
$$ A = -n^2 + 7n – 10 $$
우리는 $A$의 $n$제곱근, 즉 $x^n = A$ 를 만족하는 실수 $x$ 중에 음수가 있는 경우를 찾아야 합니다.
Phase 2. 접근 방법 (Thinking)
무작정 계산하기 전에 조건을 먼저 정리해볼까요? $A$의 부호와 $n$의 홀짝성에 따라 실근의 종류가 달라집니다.
💡 힌트: 음의 실근이 존재할 조건 (클릭)
Case 1. $n$이 짝수일 때
$A > 0$ 이어야 $\pm \sqrt[n]{A}$ 가 생겨서 음수가 존재합니다.
(만약 $A < 0$이면 실근 자체가 없습니다!)
Case 2. $n$이 홀수일 때
$A < 0$ 이어야 실수인 제곱근이 음수가 됩니다.
(홀수 제곱근은 $A$의 부호를 그대로 따라갑니다)
Phase 3. 단계별 풀이 과정
Step 1. 이차식의 부호 범위 나누기
먼저 이차식 $A$가 언제 양수이고 음수인지 알기 위해 인수분해를 합니다.
$$ -n^2 + 7n – 10 = -(n^2 – 7n + 10) = -(n-2)(n-5) $$
이 그래프는 위로 볼록하고 $n=2, 5$에서 0이 됩니다. 이를 기준으로 범위를 나눕니다.
Step 2. 케이스별 $n$값 구하기 (중요!)
문제의 조건은 $2 \le n \le 10$ 인 자연수입니다. 이 범위 안에서 찾아봅시다.
🔍 풀이 펼쳐보기
(1) 식의 값이 양수($A > 0$)일 때
- $-(n-2)(n-5) > 0$ 이려면, $2 < n < 5$ 이어야 합니다.
- 이때는 $n$이 짝수여야 음의 실근을 갖습니다.
- 범위 내 자연수 $3, 4$ 중 짝수는 $n=4$ 입니다.
(2) 식의 값이 음수($A < 0$)일 때
- $-(n-2)(n-5) < 0$ 이려면, $n < 2$ 또는 $n > 5$ 입니다.
- 전체 조건($2 \le n \le 10$)과 합치면 범위는 $5 < n \le 10$ 입니다.
- 이때는 $n$이 홀수여야 음의 실근을 갖습니다.
- 범위 내 자연수 $6, 7, 8, 9, 10$ 중 홀수는 $n=7, 9$ 입니다.
$n=2, 5$일 때는 식의 값이 $0$이 됩니다. $0$의 $n$제곱근은 $0$ 하나뿐이고, $0$은 음수가 아니므로 조건에 맞지 않아 제외합니다.
Phase 4. 최종 정답
조건을 만족하는 모든 $n$의 값을 더해줍니다.
$$ 4 + 7 + 9 = 20 $$
정답: 20
오늘 문제는 부등식의 영역과 거듭제곱근의 성질을 동시에 따져야 해서 까다로웠습니다. 특히 $n$이 홀수일 때 식의 값이 음수여야 음근이 나온다는 점을 꼭 기억해주세요!
풀이가 이해되지 않는 부분이 있다면 댓글로 남겨주세요. 🙂
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